"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Сложная функция получается, когда одна функция подставляется в другую: y = f(g(x)). Чтобы найти её производную, сначала дифференцируют внешнюю функцию, сохраняя внутреннее выражение, а затем умножают результат на производную внутренней функции. Это правило цепочки позволяет работать со степенями, синусами, логарифмами, показательной функцией и другими выражениями со сложным аргументом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложная функция — функция вида y = f(g(x)), полученная последовательным применением двух функций. Сначала находят g(x), а затем подставляют его значение в f. Такое представление помогает увидеть порядок действий и выбрать правильную формулу производной.
Внутренняя функция — функция g(x), значение которой подставляют в выражение внешней функции. Она выполняется первой, поэтому её производная обычно появляется отдельным множителем. Выделение внутренней части не даёт потерять этот множитель.
Внешняя функция — функция f(u), применяемая к результату внутренней функции. В записи y = f(g(x)) она отвечает за последний шаг вычисления. При дифференцировании сначала используют формулу именно для внешней функции.
Производная сложной функции — произведение производной внешней функции, вычисленной во внутренней точке, на производную внутренней функции. Для y = f(g(x)) это записывается так: y′ = f′(g(x))·g′(x). Формула показывает, как изменение x проходит через оба последовательных преобразования.
Распознать сложную функцию можно по наличию функции от выражения, которое само зависит от x. В y = cos(3x² − 1) внешней функцией является cos u, а внутренней — u = 3x² − 1. Важно выделять всю внутреннюю часть, а не только отдельный символ x: именно она является аргументом косинуса.
При изменении x сначала меняется значение g(x), а затем это изменение передаётся внешней функции f. Если внутренняя функция изменяется быстро, внешнее значение тоже меняется быстрее; если g′(x) отрицательна, направление изменения меняется. Поэтому коэффициент изменения внешней функции f′(g(x)) умножается на скорость изменения внутренней функции g′(x).
Правило цепочки удобно получить заменой u = g(x). Тогда y = f(u), и последовательное изменение записывают как dy/dx = (dy/du)·(du/dx). В дробной записи du сокращается, но смысл не в формальном сокращении, а в учёте двух этапов зависимости. После вычисления производных по u и по x возвращают u = g(x).
Одна и та же схема работает для разных внешних функций: степени, синуса, косинуса, показательной функции, логарифма и арктангенса. Например, у y = e^(g(x)) производная равна e^(g(x))·g′(x), а у y = ln(g(x)) — g′(x)/g(x). Если вложенных уровней несколько, правило применяют снова: каждый новый уровень добавляет свой множитель производной.
Проверка результата начинается с поиска внутренней производной. В выражении после дифференцирования должна сохраниться исходная внутренняя функция как аргумент внешней, а рядом должен появиться её производный множитель. Кроме того, проверяют область определения: например, для ln(g(x)) необходимо условие g(x) > 0.
| Вид функции | Внешняя функция | Внутренняя функция | Производная |
|---|---|---|---|
| y = (g(x))ⁿ | y = uⁿ | u = g(x) | y′ = n(g(x))ⁿ⁻¹·g′(x) |
| y = sin(g(x)) | y = sin u | u = g(x) | y′ = cos(g(x))·g′(x) |
| y = cos(g(x)) | y = cos u | u = g(x) | y′ = −sin(g(x))·g′(x) |
| y = eᵍ⁽ˣ⁾ | y = eᵘ | u = g(x) | y′ = eᵍ⁽ˣ⁾·g′(x) |
| y = ln(g(x)) | y = ln u | u = g(x) | y′ = g′(x)/g(x) |
| y = arctg(g(x)) | y = arctg u | u = g(x) | y′ = g′(x)/(1 + (g(x))²) |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала сопоставьте исходное выражение с видом функции в первом столбце. Затем найдите внутреннюю функцию и её производную, которая входит в последний множитель. Для логарифма отдельно проверьте условие g(x) > 0, а для остальных функций учитывайте ограничения, если они появляются из самого аргумента.
Условие: найти производную функции y = (3x² − 1)⁵. Основание степени зависит от x, значит, это не простая степенная функция. Нужно сохранить основание при первом дифференцировании и затем продифференцировать его.
Ответ: y′ = 30x(3x² − 1)⁴. Множитель 6x здесь обязателен: без него была бы найдена производная только внешней степени.
Условие: найти производную функции y = sin(x² + 2x). Аргумент синуса является внутренней функцией и не равен просто x. Поэтому после производной синуса нужно умножить результат на производную выражения x² + 2x.
Ответ: y′ = (2x + 2)cos(x² + 2x). Скобки вокруг 2x + 2 помогают не потерять весь множитель внутренней производной.
Условие: найти производную функции y = ln(sin(2x + 1)) и указать её область определения. Здесь логарифм получает аргумент sin(2x + 1), а синус, в свою очередь, получает аргумент 2x + 1. Поэтому правило цепочки применяется на трёх уровнях.
Ответ: y′ = 2cos(2x + 1)/sin(2x + 1), при sin(2x + 1) > 0. Производная рассматривается только на этой области, поскольку вне её исходная функция не существует.
Забывают умножить производную внешней функции на производную внутренней. Так происходит, когда узнают знакомую формулу синуса или степени и сразу записывают ответ. Проверьте себя: найдите в исходной записи g(x), отдельно вычислите g′(x) и убедитесь, что этот множитель присутствует.
За сложный аргумент принимают только x и получают, например, cos(g(x)) вместо cos(g(x))·g′(x). Ошибка возникает из-за механического применения таблицы без выделения всей внутренней функции. Подчеркните выражение внутри внешней функции и дифференцируйте именно его.
В производной логарифма не делят на внутреннюю функцию. Формула имеет вид (ln(g(x)))′ = g′(x)/g(x), а не просто g′(x). Для проверки посмотрите, остался ли в знаменателе тот же аргумент логарифма.
Теряют скобки или неверно раскрывают их после дифференцирования. Из-за этого часть выражения перестаёт быть множителем внутренней производной или меняется знак. Сначала оставьте ответ в форме произведения, проверьте цепочку, а раскрывайте скобки только после этого.
До изучения правила нужны определение производной, таблица производных элементарных функций, правило произведения и понятие композиции функций. Правило цепочки связывает алгебраическую запись функции с последовательным изменением величин: сначала меняется одна величина, затем другая. Оно используется при исследовании функций, построении касательных, поиске экстремумов и дифференцировании неявных зависимостей.
Как понять, что функция является сложной?
Нужно проверить, можно ли представить её в виде y = f(g(x)): сначала вычисляется g(x), а затем полученный результат подставляется во внешнюю функцию f. Например, в y = sin(x² + 1) внутренней является x² + 1, а внешней — синус.
Почему нужно умножать на производную внутренней функции?
Изменение x сначала меняет значение внутренней функции, а уже затем влияет на внешнюю. Поэтому общее изменение складывается из двух последовательных изменений, а их коэффициенты перемножаются.
Как дифференцировать функцию с двумя или тремя вложенными уровнями?
Правило цепочки применяют последовательно на каждом уровне. Например, для y = ln(sin(2x + 1)) перемножают производные логарифма, синуса и выражения 2x + 1.
Можно ли сначала раскрыть скобки, а потом найти производную?
Иногда можно, если раскрытие скобок упрощает выражение, например в многочлене. Но для синуса, логарифма или показательной функции раскрыть сложный аргумент обычно нельзя, поэтому удобнее сразу применять правило цепочки.
Как учитывать область определения при дифференцировании логарифма или корня?
Сначала записывают ограничения на исходную функцию: аргумент логарифма должен быть положительным, а подкоренное выражение — неотрицательным для квадратного корня. Производная рассматривается там, где функция определена и выполняются условия дифференцируемости.
§ 3. Производная сложной функции
