"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Производная показывает, как быстро меняется функция при изменении аргумента. Чтобы находить её не только у простых функций, но и у многочленов и произведений, используют правила дифференцирования. Производную суммы находят по отдельным слагаемым, постоянный множитель выносят за знак производной, а для произведения учитывают изменение обоих множителей. Освоив эти правила, можно вычислять производные сложных выражений по шагам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Производная суммы — правило, по которому производная суммы функций равна сумме их производных: (u + v)′ = u′ + v′. Здесь u и v — функции от x, а штрих обозначает производную. Это правило позволяет не искать производную суммы целиком, а вычислять её по частям.
Производная разности — правило, согласно которому производная разности функций равна разности их производных: (u − v)′ = u′ − v′. Знак минус сохраняется, поэтому производная второго выражения вычитается. Это помогает правильно работать с многочленами, в которых есть вычитаемые слагаемые.
Вынесение постоянного множителя означает, что число, не зависящее от x, можно оставить перед знаком производной: (c·u)′ = c·u′. Например, коэффициент при x⁴ не нужно дифференцировать отдельно. Правило упрощает вычисления и помогает отделить числовой коэффициент от функции.
Производная произведения вычисляется через значения обоих множителей и их производные: (uv)′ = u′v + uv′. Производная каждого множителя по очереди умножается на другой, исходный множитель. Это правило нужно, когда функции соединены умножением, и отличается от обычного умножения уже найденных производных.
Правила для суммы и разности следуют из определения производной. Приращение функции — это разность её значений после и до изменения аргумента; приращение суммы раскладывается в сумму приращений слагаемых. Поэтому отношение приращения суммы к приращению аргумента тоже раскладывается на сумму двух отношений. Если приращение аргумента стремится к нулю и производные слагаемых существуют, предел каждого отношения равен производной своего слагаемого.
Постоянный множитель можно вынести, потому что он не меняется при изменении аргумента. Если функция f(x) получает приращение Δf, то функция c·f(x) получает приращение c·Δf. В отношении приращения к приращению аргумента множитель c остаётся перед дробью, а при переходе к пределу — перед производной. Это рассуждение работает только для числа или другого постоянного значения, не зависящего от x.
В произведении изменяются оба множителя, поэтому одной производной недостаточно. При переходе от u·v к новому значению меняются и u, и v; приращение произведения можно представить как сумму двух частей: изменения первого множителя, умноженного на второй, и изменения второго, умноженного на первый. После деления на приращение аргумента и перехода к пределу получается формула (uv)′ = u′v + uv′. В каждом слагаемом формулы один множитель дифференцирован, а другой оставлен без изменения.
Чтобы дифференцировать выражение из нескольких слагаемых, сначала представьте его как сумму или разность отдельных функций. Затем вынесите постоянные числовые коэффициенты и примените известные формулы производных к каждой части, например (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Постоянное слагаемое можно рассматривать отдельно: его производная равна нулю. Такой разбор не даёт потерять знаки и коэффициенты.
Правила применяют последовательно, от внешней структуры выражения к его частям. Сначала выясните, что соединяет основные части: сложение, вычитание или умножение; затем найдите производные внутри каждой части. Если встретилось произведение, запишите оба слагаемых формулы, а после подстановки упростите результат. Проверка структуры до вычислений помогает не перепутать правила и не пропустить слагаемое.
| Правило | Формула | Условия |
|---|---|---|
| Производная суммы | (u + v)′ = u′ + v′ | Производные u и v существуют |
| Производная разности | (u − v)′ = u′ − v′ | Производные u и v существуют |
| Производная постоянного множителя | (c·u)′ = c·u′ | c — постоянное число |
| Производная произведения | (uv)′ = u′v + uv′ | u и v дифференцируемы |
| Производная постоянной функции | (c)′ = 0 | c не зависит от x |
Сначала по виду выражения выберите нужное правило, а затем сверьте формулу с соответствующей строкой таблицы. Для многочлена обычно понадобятся сразу несколько строк: правила суммы, постоянного множителя и производная постоянной. В произведении двух функций используйте отдельную формулу для произведения, а не правило суммы.
Задача 1. Найдите производную функции f(x) = x³ + 2x. Видно, что функция является суммой двух слагаемых, а во втором слагаемом есть постоянный множитель 2. Поэтому применим правила суммы и вынесения постоянного множителя, а затем формулу производной степенной функции.
Ответ: f′(x) = 3x² + 2. Каждый член исходной суммы обработан отдельно, а числовой коэффициент сохранился перед производной x.
Задача 2. Найдите производную функции g(x) = 5x⁴ − 3x² + 7. Это многочлен из двух степенных слагаемых и постоянного числа. Удобнее сначала разделить выражение на эти части, не меняя знаки, а затем найти производную каждого слагаемого.
Ответ: g′(x) = 20x³ − 6x. Последнее слагаемое исчезло, потому что производная постоянной равна нулю.
Задача 3. Найдите производную функции h(x) = (x² + 1)(3x − 2). Здесь два выражения перемножаются, поэтому формула производной суммы не подходит для всего выражения. Обозначим первый множитель через u, второй — через v и применим правило произведения.
Ответ: h′(x) = 9x² − 4x + 3. В формуле учтено изменение обоих множителей, а полученные части сложены.
Записывать производную произведения как произведение производных — неверно: вместо (uv)′ = u′v + uv′ иногда пишут u′v′. Такую ошибку допускают, перенося на производные привычное правило умножения чисел. Проверьте запись: в правильном ответе должны быть два слагаемых, и в каждом только один множитель заменён своей производной.
Дифференцировать только один множитель и забывать второй член формулы — значит не учесть часть изменения произведения. Например, запись (uv)′ = u′v теряет вклад, связанный с изменением v. Чтобы проверить себя, подставьте обозначения в полную формулу и убедитесь, что присутствуют оба слагаемых: u′v и uv′.
Считать, что производная постоянной равна самой постоянной, нельзя: число не меняется при изменении x, следовательно, его приращение равно нулю. Ошибка часто возникает из-за того, что постоянное слагаемое просто переписывают в ответ. Проверьте каждый свободный член отдельно: при дифференцировании он должен дать 0, а не сохраниться.
Выносить за знак производной выражение, зависящее от x, как постоянный множитель тоже нельзя. Например, x не является постоянным числом, поэтому правило (c·u)′ = c·u′ к нему напрямую не применяется. Перед вынесением проверьте, меняется ли выражение при изменении x; если меняется, оно само является функцией и требует подходящего правила.
Для применения правил нужны определение производной и таблица производных простейших функций, в частности степенной функции. Определение объясняет, почему правила работают, а таблица даёт значения производных, которые подставляют при вычислениях. Поэтому удобно различать два шага: выбрать правило для составного выражения и найти производные его отдельных частей.
Эти правила позволяют находить производные многочленов и выражений, составленных из нескольких функций. Найденную производную используют при исследовании поведения функции, например при определении промежутков возрастания и убывания. Она также нужна в прикладных задачах, где требуется описать скорость изменения величины.
Почему производную суммы можно находить отдельно для каждого слагаемого?
Приращение суммы равно сумме приращений её слагаемых. Поэтому в определении производной отношение приращения суммы раскладывается на сумму отношений, а их пределы дают производные слагаемых.
Как найти производную произведения двух функций?
Если функции равны u(x) и v(x), то (uv)′ = u′v + uv′. Нужно по очереди продифференцировать каждый множитель, каждый раз умножая его производную на другой исходный множитель.
Можно ли вынести число за знак производной?
Да, если это число не зависит от x: (c·f(x))′ = c·f′(x). Выражение, содержащее x, считать постоянным множителем и выносить нельзя.
Чему равна производная постоянной?
Производная постоянной равна нулю. Постоянная функция не меняется при изменении аргумента, поэтому её приращение всегда равно нулю.
Как понять, какое правило применять к выражению из нескольких частей?
Сначала определите, как устроено выражение: является ли оно суммой, разностью или произведением. Затем применяйте правило к каждой части, выносите числовые множители и используйте известные производные простых функций.
§ 2. Основные правила вычисления производной
