"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Разложение вектора по составляющим — это представление его в виде суммы векторов, направленных вдоль выбранных линий или осей. Такой приём помогает заменить сложное направление несколькими простыми и вычислять перемещения, силы и другие векторные величины по координатам. Составляющие задают вместе с направлениями, а их сумма должна в точности совпадать с исходным вектором. При разложении по двум неколлинеарным направлениям результат единственен.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Составляющими вектора называют векторы, сумма которых равна исходному вектору. Например, запись a = b + c означает, что b и c — составляющие вектора a. Такое представление удобно, когда направления b и c проще учитывать отдельно, чем направление a целиком.
Разложение по двум направлениям — представление a в виде суммы векторов, параллельных этим направлениям. Если направления не параллельны, разложение существует и единственно: через начало и конец a можно провести параллелограммы со сторонами вдоль выбранных направлений. Это позволяет однозначно определить обе составляющие.
Координаты вектора — числа, задающие его составляющие вдоль координатных осей. В плоскости пишут a = (ax; ay), где ax и ay — координаты, а соответствующие составляющие равны ax i и ay j; i и j — единичные векторы осей. Координаты нужны, чтобы записывать геометрические действия с векторами в виде вычислений с числами.
Чтобы разложить вектор по двум направлениям, через его начало проводят прямые, параллельные выбранным направлениям, а затем строят параллелограмм. Его диагональю будет исходный вектор, а стороны, выходящие из его начала, — составляющими. Такое построение работает потому, что правило параллелограмма выражает сложение двух векторов: путь по двум сторонам приводит в ту же точку, что и движение по диагонали.
Выбранные направления должны быть непараллельными. Если они параллельны, параллелограмм вырождается в отрезок, и нельзя однозначно установить, какая часть исходного вектора относится к каждому направлению. При непараллельных направлениях линии через конец вектора пересекают прямые через его начало в единственных точках, поэтому составляющие определены однозначно.
Для координатного разложения обычно выбирают взаимно перпендикулярные оси Ox и Oy. Тогда компоненты направлены вдоль осей, а вектор записывается как a = ax i + ay j. Перпендикулярность удобна тем, что координаты можно находить как проекции на оси независимо друг от друга: горизонтальная компонента отвечает за изменение положения по Ox, вертикальная — по Oy.
Если известны длина вектора |a| и угол α от положительного направления Ox, то ax = |a| cos α, а ay = |a| sin α. Эти формулы следуют из определений косинуса и синуса в прямоугольном треугольнике, образованном вектором и его проекциями. Координаты могут быть отрицательными: знак показывает, направлена ли компонента по положительному направлению оси или против него.
Координатное разложение помогает находить длину и направление вектора. В плоскости |a| = √(ax² + ay²), поскольку компоненты образуют катеты прямоугольного треугольника, а вектор — гипотенузу. В пространстве добавляется составляющая вдоль оси Oz: a = ax i + ay j + az k, а длина равна √(ax² + ay² + az²). Сложение векторов тоже становится проще: складывают отдельно координаты с одинаковыми индексами.
| Величина | Обозначение или формула | Смысл |
|---|---|---|
| Вектор в плоскости | a = ax i + ay j | Сумма составляющих вдоль осей Ox и Oy |
| Координаты по длине и углу | ax = |a| cos α; ay = |a| sin α | Компоненты находятся через угол с осью Ox |
| Длина в плоскости | |a| = √(ax² + ay²) | Теорема Пифагора для компонент |
| Вектор в пространстве | a = ax i + ay j + az k | Сумма трёх компонент вдоль осей |
Сначала определите, какие направления выбраны для разложения, и только затем подставляйте нужную строку таблицы. Следите за тем, что координата — число со знаком, а составляющая-вектор имеет ещё и направление. Формулы для длины применимы к взаимно перпендикулярным координатным осям.
Задача. Вектор a имеет длину 10 и образует с положительным направлением оси Ox угол 60°. Разложите его по координатным осям и найдите длину каждой составляющей. Нужно определить не только размеры компонент, но и их направления: угол меньше 90°, поэтому обе координаты положительны.
Запишем формулы для компонент: ax = |a| cos α, ay = |a| sin α. Они получаются из прямоугольного треугольника, где длина вектора — гипотенуза, а координатные составляющие — катеты. Угол α отсчитывается от оси Ox.
Подставим данные: ax = 10 cos 60° = 10 · ½ = 5. Эта составляющая направлена вдоль положительного направления Ox, поскольку её координата положительна. Её длина равна 5.
Найдём вторую координату: ay = 10 sin 60° = 10 · √3/2 = 5√3. Она тоже положительна, значит, вертикальная составляющая направлена вдоль положительной полуоси Oy. Её длина равна 5√3.
Проверим результат по длине: √(5² + (5√3)²) = √(25 + 75) = 10. Получилась длина исходного вектора, значит, вычисления согласуются с теоремой Пифагора. Разложение записывается как a = 5i + 5√3j.
Ответ: ax = 5, ay = 5√3; составляющие имеют длины 5 и 5√3 и направлены вдоль положительных полуосей Ox и Oy. Проверка длины подтверждает правильность разложения. Если бы угол лежал во второй четверти, координата ax была бы отрицательной, а знак следовало бы определить по направлению проекции.
Путают координату и составляющую-вектор. Координата — число со знаком, а составляющая — вектор вдоль оси; их часто называют одинаково, потому что они связаны записью ax i. Проверяйте, что именно требуется в ответе: число или направленный отрезок.
Меняют местами синус и косинус. Это происходит, когда не учитывают, от какой оси отсчитывается угол. При угле от Ox прилежащий катет даёт ax = |a| cos α, а противолежащий — ay = |a| sin α; проверьте построение треугольника.
Не учитывают знаки координат. Значения длины и угла могут дать положительные числа, хотя вектор направлен против одной из осей. Определите четверть по рисунку или по направлению проекции и проверьте знак каждой координаты.
Складывают длины вместо векторов. Длины компонент обычно не складываются в длину исходного вектора, поскольку компоненты направлены по разным осям. Проверьте результат формулой Пифагора: квадрат длины равен сумме квадратов координат.
Разложение связано с координатами точек: координаты вектора можно найти как разности соответствующих координат конца и начала. Через составляющие выполняют сложение и вычитание векторов, а также умножение вектора на число. В физике тот же приём применяют к силам и скоростям, чтобы рассматривать их действие вдоль выбранных направлений. Геометрически формулы для длины компонент опираются на теорему Пифагора и тригонометрические отношения.
§ 4. Разложение векторов по составляющим
