"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Свободный вектор — это множество равных направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление, но не обязательно общее начало. Поэтому один вектор можно перенести в любую точку пространства, не изменяя его свойств. Это позволяет складывать векторы по правилу треугольника или параллелограмма, находить противоположные векторы и выражать разность через сложение. Отдельный случай — нулевой вектор с длиной 0.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Направленный отрезок — отрезок с указанными началом и концом, например AB. Его длина равна расстоянию между точками A и B, а направление задаётся движением от A к B. Такой объект нужен, чтобы одновременно описывать величину и направленность перемещения.
Равные направленные отрезки имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Их начальные точки могут находиться в разных местах пространства, поэтому сами отрезки не обязаны совпадать. Это понятие позволяет сравнивать перемещения независимо от их положения.
Свободный вектор — множество всех равных направленных отрезков. Любой отрезок из этого множества можно выбрать его представителем и использовать для изображения вектора. Благодаря этому положение вектора можно менять без изменения самого вектора.
Нулевой вектор — вектор, длина которого равна нулю. Его представитель имеет совпадающие начало и конец, поэтому невозможно указать, в какую сторону он направлен. Нулевой вектор нужен, например, для записи результата взаимного уничтожения двух противоположных векторов.
Равные направленные отрезки считают представителями одного вектора, потому что они описывают одно и то же перемещение: одинаково великая «шаговая» величина направлена в одну и ту же сторону. Точка, из которой начинается перемещение, при этом несущественна. Поэтому свободный вектор — не конкретный отрезок, а класс всех отрезков с одинаковыми длиной и направлением.
Чтобы перенести вектор в любую точку, через выбранную точку проводят отрезок нужной длины в том же направлении. Полученный отрезок будет равен исходному и станет новым представителем. Это удобно, потому что векторы можно расположить так, чтобы их начала или конец и начало совпали, а затем выполнять сложение и другие действия.
По правилу треугольника конец представителя первого вектора совмещают с началом представителя второго. Суммой будет вектор от начала первого отрезка к концу второго. Такой порядок отражает последовательное выполнение двух перемещений: сначала происходит первое, затем второе.
Правило параллелограмма даёт тот же результат, если представители двух векторов имеют общее начало. Их достраивают до параллелограмма, а диагональ из общего начала принимают за сумму. Это возможно именно потому, что представителей можно свободно переносить, не меняя векторы.
Вектор, противоположный a, обозначают −a: он имеет ту же длину, но направлен в обратную сторону. Сумма a + (−a) является нулевым вектором, поскольку перемещение вперёд и такое же перемещение назад взаимно компенсируются. Поэтому разность a − b определяют как сумму a + (−b).
| Понятие или действие | Как определяется | Что важно учитывать |
|---|---|---|
| Направленный отрезок | Отрезок с указанными началом и концом; имеет длину и направление. | Направление задаётся порядком точек, например от A к B. |
| Равные направленные отрезки | Отрезки одинаковой длины и одинаково направленные. | Начальные точки могут различаться. |
| Свободный вектор | Множество всех равных направленных отрезков. | Любой элемент множества является представителем вектора. |
| Нулевой вектор | Вектор с длиной 0. | Его направление не определено. |
| Сложение векторов | Конец первого представителя соединяют с началом второго; сумма идёт от начала первого к концу второго. | Можно также применить правило параллелограмма. |
| Противоположный вектор и разность | −a имеет ту же длину и обратное направление; a − b = a + (−b). | Сначала меняют направление вычитаемого вектора. |
Таблица помогает быстро отличить конкретный направленный отрезок от свободного вектора и вспомнить основные действия. При решении задачи сначала определите, какие отрезки являются представителями, затем выберите удобное правило построения.
Если в условии встречается разность, замените её сложением с противоположным вектором. Для проверки результата сравните направление и длину построенного вектора с ожидаемыми свойствами.
Условие. На рисунке даны два равных направленных отрезка AB и CD. Определите, какие векторы они представляют. Точки A и C могут находиться в разных местах.
Ответ: векторы AB и CD равны и представляют один свободный вектор. Различие начальных точек этому не мешает.
Условие. Постройте сумму векторов a и b, если конец представителя a совпадает с началом представителя b. Пусть представитель a начинается в точке A, а представитель b заканчивается в точке C.
Ответ: a + b = AC. Вектор AC показывает общий результат двух последовательных перемещений.
Условие. В параллелограмме ABCD выразите вектор AC через векторы AB и AD, а затем представьте вектор CA как разность векторов. Нужно использовать стороны, выходящие из одной вершины.
Ответ: AC = AB + AD, а CA = −AC. В общем виде противоположный вектор можно записывать как разность: −b = a − (a + b).
Ошибка: считать векторами только отрезки с одним и тем же началом. Так происходит из-за привычки изображать свободные векторы из одной точки. Проверьте себя: если длина и направление сохраняются, новый отрезок тоже может быть представителем.
Ошибка: называть равными отрезки лишь из-за одинаковой длины. Одинаковая длина не учитывает, куда направлены отрезки, поэтому этого признака недостаточно. Сравните и длину, и направление.
Ошибка: при сложении соединять концы представителей или складывать их длины. При правиле треугольника конец первого совмещают с началом второго, а результат проводят от начала первого к концу второго. Проверьте порядок перемещений по получившейся ломаной.
Ошибка: считать, что у нулевого вектора есть определённое направление. Его длина равна нулю, начало и конец совпадают, поэтому выбрать направление невозможно. При проверке учитывайте только его длину и свойство a + (−a) = 0.
До изучения свободных векторов нужно уметь задавать направленный отрезок, находить его длину и определять направление. Также пригодятся свойства параллелограмма: противоположные стороны параллельны и равны, а диагональ задаётся правилом сложения сторон.
Свободные векторы станут основой для работы с векторами в пространстве и координатным методом. С их помощью удобно переводить геометрические условия на язык координат, находить длины, направления и решать задачи на взаимное положение объектов.
Чем свободный вектор отличается от направленного отрезка?
Направленный отрезок имеет конкретные начало и конец. Свободный вектор объединяет все равные ему направленные отрезки, поэтому его положение в пространстве не фиксировано.
Почему один вектор можно изображать отрезками с разными началами?
Начальные точки не влияют на вектор, если у отрезков совпадают длина и направление. Такой отрезок называют представителем одного и того же свободного вектора.
Как понять, что два направленных отрезка задают один и тот же вектор?
Нужно сравнить их длины и направления. Если длины равны и отрезки направлены одинаково, они являются равными направленными отрезками и представляют один свободный вектор.
Почему при сложении векторов можно пользоваться правилом параллелограмма?
Представители свободных векторов можно перенести так, чтобы они имели общее начало. Тогда два вектора становятся сторонами параллелограмма, а его диагональ из общего начала задаёт их сумму.
Как построить разность двух векторов?
Разность a − b определяют как сумму a и вектора, противоположного b: a − b = a + (−b). Сначала строят противоположный вектор, затем применяют правило треугольника или параллелограмма.
§ 5. Свободные векторы
