"Геометрия", Погорелов А.В.
Разложить вектор по двум неколлинеарным векторам — значит представить его как сумму числовых кратных этих векторов. Такая пара задаёт два независимых направления, поэтому с её помощью можно выразить любой вектор плоскости. Коэффициенты показывают, насколько и в какую сторону нужно умножить каждый из выбранных векторов. Разложение всегда существует и для фиксированной пары определяется единственным образом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неколлинеарные векторы — это векторы, которые не лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Иначе говоря, они задают разные направления, а не одно общее направление с разной длиной или противоположной стороной. Такая пара нужна, потому что два независимых направления позволяют составить любой вектор плоскости. Если направления совпадают, получить вектор, направленный иначе, не удастся.
Разложить вектор по двум неколлинеарным векторам — значит представить его как сумму числовых кратных этих векторов. Для векторов a и b разложение вектора c записывают так: c = xa + yb. Эта запись помогает выразить один вектор через выбранные направления и применять свойства сложения и умножения векторов на число.
Числа x и y называются коэффициентами разложения. Каждый коэффициент относится к стоящему рядом с ним вектору: x умножает a, а y умножает b. Коэффициент может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Знак показывает направление слагаемого, а значение — во сколько раз изменяется длина исходного вектора.
Если из одной точки отложить два неколлинеарных вектора, они станут сторонами параллелограмма. Диагональ, выходящая из той же точки, равна сумме векторов, задающих эти стороны. Это следует из правила сложения: можно сначала пройти по одной стороне, затем по другой, и прийти в ту же точку, что и по диагонали. Поэтому в параллелограмме диагональ выражается через два вектора сторон.
Чтобы показать существование разложения любого вектора, выберем его начало и конец и через начало проведём прямые, параллельные двум заданным неколлинеарным векторам. Эти прямые и параллели, проходящие через конец вектора, образуют параллелограмм. Его стороны направлены вдоль выбранных векторов, а диагональ совпадает с данным вектором. Значит, стороны можно записать как числовые кратные выбранной пары, а диагональ — как сумму этих кратных.
Множитель перед вектором может быть любым действительным числом, потому что сторона может быть направлена как вектор, так и противоположно ему. Положительное число сохраняет направление и меняет длину в указанное число раз, а отрицательное меняет направление на противоположное. Если сторона параллелограмма оказалась направлена против выбранного вектора, её коэффициент будет отрицательным. При нулевом коэффициенте соответствующая составляющая отсутствует.
Докажем, что разложение единственно. Предположим, один и тот же вектор имеет две записи: c = xa + yb и c = ma + nb. Приравняем их и перенесём слагаемые: (x − m)a = (n − y)b. Если коэффициенты различаются, ненулевые векторы слева и справа должны быть направлены вдоль одной прямой. Тогда a и b оказались бы коллинеарны, вопреки условию. Следовательно, коэффициенты совпадают, и другого разложения нет.
Итак, каждый вектор плоскости единственным образом представляется суммой числовых кратных любых двух заранее выбранных неколлинеарных векторов. Существование обеспечивается построением параллелограмма, а единственность — невозможностью совместить два разных направления в одной прямой. Условие о неколлинеарности необходимо для обоих рассуждений. Оно отличает два независимых направления от двух векторов, лежащих на одной линии.
| Что рассматриваем | Содержание |
|---|---|
| Выбранные векторы | Любые два неколлинеарных вектора плоскости. |
| Вид разложения | c = xa + yb, где a и b — выбранные векторы. |
| Существование | Стороны построенного параллелограмма дают нужные кратные векторов. |
| Единственность | Для фиксированной неколлинеарной пары коэффициенты определяются единственным образом. |
| Смысл коэффициентов | Числа задают длину и направление каждого слагаемого; могут быть положительными, отрицательными или нулевыми. |
Сначала проверь, что выбранные векторы неколлинеарны: только тогда разложение гарантированно существует и единственно. Затем сопоставь коэффициент с вектором, который он умножает. При проверке результата сложи полученные слагаемые и убедись, что они дают исходный вектор.
В параллелограмме ABCD выразить вектор AC через векторы AB и AD. Нужно заметить, что диагональ AC выходит из той же вершины, что и стороны AB и AD. Значит, достаточно пройти сначала из A в B, а затем добавить вектор, равный вектору BC. Противоположные стороны параллелограмма равны и сонаправлены, поэтому BC = AD.
Ответ: AC = AB + AD. Диагональ разложена по двум сторонам, выходящим из вершины A. Здесь коэффициенты при AB и AD равны 1.
Точка M — середина стороны AB треугольника ABC. Выразить вектор CM через CA и CB. Удобно пройти из C в M через A: тогда CM = CA + AM. Так как M — середина AB, вектор AM направлен так же, как AB, и равен половине AB. Осталось выразить AB через CA и CB, чтобы в ответе остались только заданные векторы.
Ответ: CM = ½CA + ½CB. Коэффициенты одинаковы, потому что M делит AB пополам. Проверка: оба коэффициента относятся к своим векторам, а сумма направлена от C к середине AB.
Векторы a и b неколлинеарны, а вектор c задан равенством c = 2a − 3b. Определить коэффициенты разложения c по a и b и объяснить, почему они определены однозначно. Сравним запись с общей формой c = xa + yb. Каждый множитель нужно сопоставить именно с тем вектором, который следует за ним.
Ответ: коэффициенты равны 2 и −3. Второй коэффициент отрицателен, значит, слагаемое −3b направлено противоположно b и имеет длину в три раза больше. Другие коэффициенты для этой пары не дадут тот же вектор c.
Ошибка: считать, что коэффициенты обязательно положительны. Так думают, если рассматривают только длины отрезков и забывают о направлении векторов. Отрицательный коэффициент означает, что слагаемое направлено противоположно выбранному вектору. Проверь знак по направлению каждой составляющей.
Ошибка: поменять местами коэффициенты и записать, например, xa + yb как ya + xb. Обычно это происходит, когда воспринимают два коэффициента как общий набор чисел, не связывая их с векторами. Каждое число умножает только тот вектор, который стоит рядом. Для проверки прочитай запись вслух: сначала коэффициент при a, затем при b.
Ошибка: считать разложение единственным для коллинеарных векторов. Два вектора на одной прямой не задают двух независимых направлений, поэтому условие теоремы нарушено. Например, векторы 2a и a можно получать разными сочетаниями коллинеарных слагаемых. Перед применением единственности проверь, что выбранные векторы не параллельны.
Ошибка: записать сумму, в которой слагаемые не выражены через выбранную пару. Так бывает, если остановиться на удобном пути через третью точку, не заменив промежуточный вектор. Разложение должно иметь вид xa + yb именно для заданных a и b. Проверь, что в окончательной записи остались только выбранные векторы и числовые коэффициенты.
Для этой темы нужны знания о равных и противоположных векторах: они помогают заменять векторы параллельных сторон и учитывать смену направления. Также понадобятся умножение вектора на число и правило сложения векторов, по которому путь через промежуточную точку превращают в сумму. Разложение применяют дальше, чтобы выражать векторы через выбранные направления и решать геометрические задачи. Например, можно заменить диагональ параллелограмма суммой векторов его сторон.
Что значит разложить вектор по двум векторам?
Это значит представить его в виде суммы числовых кратных двух выбранных векторов: c = xa + yb. Числа x и y показывают, во сколько раз умножить каждый вектор и нужно ли изменить его направление.
Почему выбранные векторы должны быть неколлинеарными?
Неколлинеарные векторы задают два разных направления, из которых можно составить любой вектор плоскости. Если они коллинеарны, оба направлены вдоль одной прямой, и с их помощью нельзя выразить вектор другого направления.
Могут ли коэффициенты разложения быть отрицательными?
Да. Отрицательный коэффициент означает, что соответствующее слагаемое направлено противоположно выбранному вектору. Коэффициент также может быть равен нулю: тогда это слагаемое равно нулевому вектору.
Почему разложение вектора единственно?
Если бы у одного вектора были два разных разложения, после вычитания равенств получилось бы, что ненулевой вектор направлен одновременно вдоль двух выбранных векторов. Это невозможно, если они неколлинеарны, поэтому коэффициенты совпадают.
Как найти разложение вектора в параллелограмме?
В параллелограмме диагональ из общей вершины двух сторон равна сумме векторов этих сторон. Например, для ABCD вектор AC = AB + AD. Это следует из правила сложения векторов по двум сторонам параллелограмма.
97. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
