44. Правило параллелепипеда

Определения и обозначения

Правило параллелепипеда — способ построить сумму трёх векторов с общим началом: сумма изображается диагональю фигуры, выходящей из этого начала. Оно нужно, чтобы наглядно складывать векторы в пространстве, не ограничиваясь одной плоскостью. Если векторы обозначены a, b и c, результат записывают как a + b + c. При построении учитывают, куда направлен каждый вектор.

Параллелепипед, построенный на трёх векторах, — пространственная фигура, в которой эти векторы задают три ребра с общей вершиной, а противоположные грани параллельны. Иными словами, каждое из трёх ребёр задаёт одно из исходных направлений и имеет соответствующую длину. Это определение помогает правильно достроить фигуру: нужно сохранять не только длины, но и направления исходных векторов. Тогда рёбра фигуры изображают нужные векторы.

Диагональ параллелепипеда, выходящая из общей вершины трёх векторов, — вектор, равный их сумме. Она соединяет эту вершину с противоположной вершиной всей фигуры, а не с вершиной той же грани. Поэтому диагональ показывает одновременно итоговое перемещение по всем трём направлениям. Её можно обозначить, например, как вектор суммы a + b + c.

Как это устроено

Чтобы построить параллелепипед на трёх векторах, сначала откладывают их из одной точки: их начала должны совпасть. Получившиеся векторы становятся тремя рёбрами одной вершины. Через конец каждого вектора проводят рёбра, параллельные двум другим исходным рёбрам, и достраивают противоположные грани. Это работает потому, что параллельный перенос сохраняет длину и направление вектора, а грани параллелепипеда являются параллелограммами.

Диагональ из общей вершины равна сумме векторов, потому что к противоположной вершине можно пройти несколькими последовательными перемещениями вдоль рёбер. Например, сначала пройти по вектору a, затем по ребру, равному b, и после этого по ребру, равному c. По правилу многоугольника результат этих перемещений и есть вектор a + b + c. Прямая диагональ соединяет ту же начальную и конечную точки, поэтому изображает тот же вектор.

Правило параллелепипеда можно получить из правила параллелограмма. Сначала на грани, построенной на векторах a и b, находят диагональ: она изображает a + b. Затем к полученному вектору прибавляют c, пользуясь правилом треугольника или параллелограмма. В пространственном построении итоговая диагональ соединяет начало всех трёх векторов с противоположной вершиной, так что оба шага дают a + b + c.

При сложении важно учитывать направления, а не только длины. Два параллельных ребра могут изображать векторы, направленные в противоположные стороны, и тогда один из них нельзя считать просто «ещё одной такой же длиной» в сумме. Причина в том, что вектор задаёт перемещение: движение вперёд и такое же движение назад взаимно компенсируются. Проверяя построение, проследите, чтобы каждый вектор был направлен так же, как соответствующее ему ребро.

Если векторы изначально не имеют общего начала, их можно перенести параллельно самим себе. При таком переносе каждый вектор сохраняет длину и направление, поэтому представляет то же перемещение, только приложенное в другой точке. Совместите начала перенесённых векторов и постройте на них параллелепипед. Это позволяет пользоваться правилом для любых трёх векторов, а не только для тех, которые уже выходят из одной вершины.

Правила сложения векторов

Сначала определите, сколько векторов складывается и имеют ли они общее начало. Для двух подходит параллелограмм, для трёх — параллелепипед; если векторов больше, их удобно откладывать последовательно. В любом случае результат соединяет начало первого перемещения с концом последнего.

Разбор задач

Сумма трёх векторов с общим началом

Условие: из точки O выходят векторы a, b и c. Требуется изобразить их сумму. Все три вектора уже имеют общее начало, поэтому переносить их не нужно. Построим на них параллелепипед.

1. Обозначьте концы векторов a, b и c и считайте их рёбрами, выходящими из O. Сохраните направление каждого вектора при построении.
2. Достройте параллелепипед: через конец каждого ребра проведите прямые, параллельные двум другим рёбрам. Получатся грани-параллелограммы.
3. Найдите вершину, противоположную O во всей фигуре, и проведите к ней диагональ из O. Она и изображает результат сложения трёх векторов.

Ход построения отражает последовательное перемещение сначала по a, затем по b и c. Диагональ имеет ту же начальную и конечную точки, что и путь вдоль рёбер. Ответ: сумма равна вектору диагонали из O к противоположной вершине параллелепипеда.

Диагональ в параллелепипеде

Условие: дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Нужно выразить вектор AC₁ через AB, AD и AA₁. Из вершины A выходят ровно три вектора, перечисленные в условии, поэтому можно применить правило параллелепипеда. Проверим, что диагональ AC₁ ведёт к вершине, противоположной A.

1. Рассмотрите рёбра AB, AD и AA₁. Они задают направления трёх рёбер, выходящих из A.
2. Достройте на этих векторах параллелепипед. По параллельности и равенству противоположных рёбер перемещение от B к C равно AD, а от C к C₁ равно AA₁.
3. Пройдите от A к C₁ по маршруту A—B—C—C₁. По правилу сложения последовательных векторов вектор AC₁ равен AB + AD + AA₁.

Маршрут нужен для обоснования: сумма перемещений вдоль рёбер совпадает с прямым перемещением от начальной точки A к конечной C₁. Ответ: AC₁ = AB + AD + AA₁.

Координаты суммы

Условие: a = (1; 2; −1), b = (3; −1; 2), c = (−2; 4; 1). Найдите координаты суммы и опишите построение. По правилу параллелепипеда результат можно представить диагональю, но сначала найдём его координаты. Координаты вектора задают его составляющие по трём направлениям, поэтому складывают отдельно соответствующие компоненты.

1. Сложите первые координаты: 1 + 3 + (−2) = 2. Это составляющая суммы по первому направлению.
2. Сложите вторые координаты: 2 + (−1) + 4 = 5. Затем сложите третьи: −1 + 2 + 1 = 2.
3. Запишите результат как вектор (2; 5; 2). Для геометрического построения отложите a, b и c из одной точки и постройте параллелепипед.

Диагональ из общей вершины изображает сумму и соответствует найденным координатам. Проверка по компонентам помогает не перепутать знаки при сложении отрицательных чисел. Ответ: a + b + c = (2; 5; 2).

Типичные ошибки

• Ошибка — считать, что диагональ даёт сумму любых трёх векторов, даже если они не задают три ребра из одной вершины. Так думают, потому что на рисунке видны три направления, но не проверяют расположение слагаемых. Приведите векторы к общему началу и убедитесь, что каждое из них соответствует отдельному ребру.

• Ошибка — принять диагональ грани за диагональ параллелепипеда. Диагональ грани соединяет противоположные вершины только одного параллелограмма, поэтому она строит сумму двух векторов, а не трёх. Проверьте, что конечная точка диагонали противоположна общей вершине во всей пространственной фигуре.

• Ошибка — складывать только длины векторов, не учитывая их направления. Это происходит, когда векторы воспринимают как отрезки, хотя противоположно направленные перемещения могут компенсировать друг друга. Перед сложением сравните направления слагаемых и проверьте, куда направлено каждое соответствующее ребро.

• Ошибка — при переносе вектора изменить его длину или направление. Обычно это случается, если вектор перерисовывают от руки и считают, что достаточно сохранить только параллельность. Сверьте новый вектор с исходным: он должен быть равен ему, то есть иметь ту же длину и то же направление.

Связь с другими темами

Для применения правила нужно понимать, что такое вектор, какие векторы равны или противоположны, и как складывать векторы по правилу треугольника и параллелограмма. Правило параллелограмма строит сумму двух слагаемых, а правило параллелепипеда расширяет этот подход на три направления. В дальнейшем правило помогает раскладывать векторы пространства по трём направлениям, находить их суммы по координатам и обосновывать геометрические равенства. Поэтому при решении задач полезно сочетать рисунок с координатным вычислением.

Что запомнить

• Правило параллелепипеда относится к сумме трёх векторов.
• Три вектора нужно привести к общему началу.
• Векторы задают три ребра, выходящие из одной вершины.
• Сумма изображается диагональю из этой вершины.
• Параллельный перенос сохраняет длину и направление вектора.
• Правило параллелепипеда можно получить последовательным применением правила параллелограмма.