"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Правило параллелепипеда помогает складывать три вектора, выходящие из одной точки: их сумма равна вектору диагонали, проведённой из этой точки в противоположную вершину параллелепипеда. Для двух векторов используют правило параллелограмма, а для трёх — объёмную фигуру. Это наглядный способ сложения векторов, который позволяет находить направление и длину результирующего перемещения, не складывая векторы по очереди на плоскости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вектор — направленный отрезок, у которого есть длина и направление. Векторы обозначают строчными латинскими буквами со стрелкой, например a⃗, или двумя заглавными буквами со стрелкой, например AB⃗. Такое обозначение позволяет отличать перемещение от обычного отрезка: у отрезка важны концы, а у вектора — направление и длина.
Параллелепипед — многогранник, у которого шесть граней являются параллелограммами. В правиле параллелепипеда три вектора a⃗, b⃗ и c⃗ имеют общее начало O и направлены вдоль трёх рёбер, выходящих из этой вершины. Это условие нужно, чтобы все три перемещения можно было изобразить сторонами одной пространственной фигуры.
Правило параллелепипеда утверждает: сумма трёх векторов с общим началом равна вектору диагонали параллелепипеда, выходящей из того же начала к противоположной вершине. Если вершины обозначены O и D, запись имеет вид a⃗ + b⃗ + c⃗ = OD⃗. Она нужна, чтобы наглядно представить итог трёх последовательных перемещений одним вектором.
Представьте, что из точки O нужно выполнить три перемещения: сначала на вектор a⃗, затем на b⃗, затем на c⃗. По правилу треугольника конец первого перемещения можно совместить с началом второго, а конец второго — с началом третьего. Чтобы использовать правило параллелепипеда, не обязательно рисовать эту цепочку отдельно: все три вектора переносят параллельно так, чтобы они выходили из O, ведь параллельный перенос не меняет ни длину, ни направление вектора.
Два вектора с общим началом образуют две стороны параллелограмма, а их сумма изображается диагональю этого параллелограмма. Если к ним добавить третий вектор, из получившейся грани строят ещё один параллелограмм, параллельный первой грани. Так возникает параллелепипед: три заданных вектора задают три ребра из одной вершины, а противоположная вершина оказывается концом диагонали, изображающей их сумму.
Почему диагональ даёт именно сумму? Переход от O к противоположной вершине можно разбить на три перехода вдоль рёбер: в сторону a⃗, затем b⃗ и c⃗. По правилу сложения векторов результирующее перемещение равно сумме векторов этих шагов. Поэтому диагональ не просто соединяет две вершины: она показывает общий результат трёх перемещений и сохраняет и их итоговое направление, и итоговую длину.
Порядок сложения не меняет итог. Можно сначала сложить a⃗ и b⃗, получить диагональ соответствующей грани, а потом прибавить c⃗; можно начать с любой другой пары. Это следует из переместительного и сочетательного свойств сложения векторов: a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗, а (a⃗ + b⃗) + c⃗ = a⃗ + (b⃗ + c⃗). Поэтому правило параллелепипеда согласуется с обычным сложением векторов, а не заменяет его другим действием.
Если векторы заданы координатами, пространственный рисунок можно проверить вычислением. Складывают отдельно первые, вторые и третьи координаты: для a⃗ = (a₁; a₂; a₃), b⃗ = (b₁; b₂; b₃), c⃗ = (c₁; c₂; c₃) сумма равна (a₁ + b₁ + c₁; a₂ + b₂ + c₂; a₃ + b₃ + c₃). Полученные координаты должны совпасть с координатами диагонали от общего начала к противоположной вершине.
| Что задано | Как строить | Результат |
|---|---|---|
| Два вектора с общим началом | Построить параллелограмм на этих векторах | Сумма — диагональ грани |
| Три вектора с общим началом | Построить параллелепипед на этих векторах | Сумма — пространственная диагональ |
| Координаты трёх векторов | Сложить координаты с одинаковыми индексами | Координаты суммы |
Сначала определите, сколько векторов складывается и имеют ли они общее начало. Затем выберите геометрическое построение или координатный способ, а после сверьте направление полученной диагонали с направлением перемещений. Таблица помогает выбрать представление задачи, но в каждом случае речь идёт об одной и той же сумме векторов.
Задача. Из вершины O куба выходят три ребра OA, OB и OC, направленные вдоль трёх взаимно перпендикулярных направлений. Длина каждого ребра равна 2. Найдите длину вектора OA⃗ + OB⃗ + OC⃗. Нужно не складывать длины рёбер напрямую: векторы направлены по разным осям, поэтому сначала следует определить координаты их суммы, а затем найти её длину.
Выберем начало координат в точке O, а направления осей направим вдоль рёбер OA, OB и OC. Тогда OA⃗ = (2; 0; 0), OB⃗ = (0; 2; 0), OC⃗ = (0; 0; 2). Каждое ребро вносит длину только в свою координату, потому что остальные направления ему перпендикулярны.
Сложим координаты с одинаковыми индексами: OA⃗ + OB⃗ + OC⃗ = (2 + 0 + 0; 0 + 2 + 0; 0 + 0 + 2) = (2; 2; 2). По правилу параллелепипеда этот вектор совпадает с диагональю куба, выходящей из O к противоположной вершине. Координатный ответ показывает, что диагональ имеет составляющую длины 2 вдоль каждого из трёх взаимно перпендикулярных направлений.
Найдём длину полученного вектора по формуле для расстояния в пространстве: |(x; y; z)| = √(x² + y² + z²). Получаем √(2² + 2² + 2²) = √12 = 2√3. Проверка смыслом: диагональ длиннее ребра, поскольку соединяет вершины, разделённые сразу по трём направлениям.
Ответ: 2√3.
Первая ошибка — складывать длины трёх векторов и объявлять сумму длиной диагонали. Так делают, когда забывают, что векторы могут быть направлены по-разному: длины складываются напрямую лишь при одинаковом направлении. Проверьте себя по рисунку или координатам; для рёбер куба со стороной 2 диагональ равна 2√3, а не 6.
Вторая ошибка — строить диагональ из вершины, которая не является общим началом заданных векторов. Это происходит, если перепутать направление вектора или принять его за неориентированный отрезок. Проверьте стрелки: все три вектора должны быть направлены от одной вершины вдоль рёбер, а искомая диагональ должна начинаться там же.
Третья ошибка — применять правило параллелепипеда к векторам, не согласовав их начала. Векторы можно параллельно переносить, но нельзя менять их направления или длины; невнимательное соединение концов и начал даёт другую сумму. Перед построением перенесите векторы так, чтобы они выходили из одной точки, и затем сравните сумму с координатной проверкой.
Правило параллелепипеда продолжает правило параллелограмма, которое изображает сумму двух векторов на плоскости. В пространстве к двум направлениям добавляется третье, поэтому вместо грани рассматривают объёмную фигуру. Координаты вектора дают вычислительную проверку построения: компоненты складывают по отдельности, а длину результата находят по теореме Пифагора в пространстве.
3.2. Правило параллелепипеда
