"Геометрия", Погорелов А.В.
Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но могут различаться размерами: их соответствующие углы равны, а длины соответствующих отрезков пропорциональны. Это понятие помогает сравнивать фигуры, находить неизвестные длины и работать с масштабом. Для проверки подобия нужно правильно установить соответствие элементов и убедиться, что один и тот же коэффициент подходит всем соответствующим длинам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные фигуры — это фигуры одинаковой формы, у которых соответствующие углы равны, а длины соответствующих отрезков пропорциональны. Пропорциональность означает, что отношения длин подходящих сторон имеют одно и то же значение. Размеры фигур при этом могут быть разными. Определение нужно, чтобы отличать подобие от простого сходства на глаз.
Соответствующие элементы — это вершины, стороны и углы двух фигур, которые сопоставлены друг другу. Например, если вершине A соответствует вершина A₁, то стороны, выходящие из A, сравнивают со сторонами, выходящими из A₁. Соответствие устанавливают по порядку вершин и расположению элементов. Это помогает не сравнить случайно стороны, которые не связаны друг с другом.
Коэффициент подобия — отношение длины соответствующего отрезка первой фигуры к длине отрезка второй. Если сравниваются фигуры A и B, можно записать k₍AB₎ = длина в A / длина в B. Порядок важен: при перестановке фигур дробь переворачивается. Коэффициент позволяет перейти от длины одной фигуры к соответствующей длине другой.
Преобразование подобия изменяет размеры фигуры, сохраняя её форму и величины углов. Все длины отрезков при этом умножаются на одно и то же число — коэффициент преобразования. Поэтому стороны не растут или уменьшаются каждая по-своему. Такое преобразование объясняет, почему у подобных фигур одинаковые отношения соответствующих длин.
Равных соответствующих углов или пропорциональности нескольких сторон недостаточно, чтобы заключить, что фигуры подобны. Углы могут совпадать, а стороны — растягиваться в разных отношениях, поэтому форма не будет сохранена. И наоборот, несколько пропорциональных сторон не гарантируют равенства всех углов. Проверка должна охватывать все соответствующие элементы: углы — быть равными, длины — пропорциональными с одним числом.
Сначала нужно выяснить, какие элементы соответствуют друг другу, а затем провести две проверки. Сравнивают величины соответствующих углов и вычисляют отношения длин соответствующих сторон. Если хотя бы одна пара углов не равна или отношения длин различаются, фигуры не подобны. Именно поэтому полезно записывать соответствие вершин до вычислений, а не выбирать пары сторон по удобству.
При преобразовании подобия углы сохраняются, потому что изменение масштаба не меняет направления сторон, образующих угол. Длины же всех отрезков умножаются на один коэффициент: каждая сторона становится длиннее или короче в одинаковое число раз. Если бы для разных сторон применялись разные множители, фигура исказилась бы. Единый коэффициент и равенство углов вместе описывают сохранение формы.
Коэффициент показывает, во сколько раз длины одной фигуры отличаются от длин другой, но смысл числа зависит от порядка сравнения. Если отношение длин первой фигуры ко второй меньше 1, первая фигура меньше по соответствующим размерам; если больше 1 — больше. При перестановке фигур числитель и знаменатель меняются местами, поэтому коэффициенты взаимно обратны. Например, отношению ½ в обратном порядке соответствует 2.
Чтобы записать соответствие вершин, указывают их в согласованном порядке: например, если A соответствует A₁, B — B₁, C — C₁, пишут треугольники ABC и A₁B₁C₁ именно в таком порядке. Тогда сторона AB соответствует A₁B₁, а угол при A — углу при A₁. Если порядок нарушить, можно сравнить несоответствующие стороны и получить неверное отношение. Поэтому сначала составляют пары вершин, а уже затем записывают пары сторон и углов.
| Элемент | В первой фигуре | Во второй фигуре | Связь |
|---|---|---|---|
| Соответствующие вершины | A, B, C | A₁, B₁, C₁ | A ↔ A₁, B ↔ B₁, C ↔ C₁ |
| Соответствующие углы | ∠A, ∠B, ∠C | ∠A₁, ∠B₁, ∠C₁ | Углы равны |
| Соответствующие стороны | AB, BC, CA | A₁B₁, B₁C₁, C₁A₁ | Отношения длин одинаковы |
| Коэффициент подобия | k₍AB₎ | k₍BA₎ | Коэффициенты обратны |
| Длина произвольного отрезка | x | y | y = x · q, где q — коэффициент перехода от первой фигуры ко второй |
Сначала найди строку с вершинами: она задаёт пары для углов и сторон. Затем проверь равенство углов и одинаковость отношений длин. Для перехода к длине во второй фигуре используй коэффициент именно в направлении от первой фигуры ко второй.
Задача 1. У двух треугольников соответствующие стороны равны 3, 4, 5 и 6, 8, 10. Определить, подобны ли треугольники, и найти коэффициент подобия. Считаем первым треугольник со сторонами 3, 4, 5, а вторым — со сторонами 6, 8, 10. Так порядок сравнения заранее зафиксирован.
Задача 2. Соответствующие стороны двух многоугольников пропорциональны, но одна пара соответствующих углов не равна. Можно ли утверждать, что многоугольники подобны? В условии уже сообщено, что проверка углов дала несовпадение хотя бы для одной пары. Поэтому пропорциональность сторон не отменяет результат проверки углов.
Задача 3. Фигура преобразована с коэффициентом подобия 1,5. Найти длину отрезка, соответствующего отрезку длиной 8 см, и объяснить, как изменится коэффициент при обратном соответствии. Коэффициент преобразования задан в направлении от исходной фигуры к её образу. Значит, длина образа получается умножением на 1,5.
Первая ошибка — считать фигуры подобными только по равенству соответствующих углов. Так рассуждают, потому что углы хорошо показывают форму, но без проверки длин они не исключают различный масштаб сторон. Проверь себя: кроме равенства всех соответствующих углов, найди отношения длин соответствующих сторон и убедись, что они одинаковы.
Вторая ошибка — сравнивать стороны, которые не соответствуют друг другу. Это случается, когда порядок вершин записан неверно или соответствие вообще не установлено. Перед вычислениями составь пары вершин и сторон, например AB ↔ A₁B₁; затем проверь, что сравниваемые стороны соединяют соответствующие вершины.
Третья ошибка — путать коэффициент с отношением в обратном порядке. Если поменять фигуры местами, числитель и знаменатель тоже меняются, поэтому коэффициент становится обратным. Чтобы проверить себя, подпиши рядом с дробью, длины какой фигуры стоят в числителе и какой — в знаменателе.
Четвёртая ошибка — проверить только одну пару сторон и принять найденное отношение за общий коэффициент. Первая пара может случайно дать нужное число, а другие стороны — нет. Вычисли отношения для всех соответствующих длин: каждый результат должен совпасть с одним коэффициентом. Если хотя бы один отличается, пропорциональность не доказана.
Для работы с подобием нужно уметь измерять отрезки и углы, находить отношения величин и распознавать соответствующие элементы. Эти навыки помогают правильно составить пары сторон и сравнить их длины. Позже подобие станет основой для признаков подобия треугольников и задач на неизвестные стороны. Оно также объясняет, как устроены масштабные изображения, чертежи и пропорциональные размеры.
Чем подобные фигуры отличаются от равных?
У равных фигур совпадают и форма, и размеры: соответствующие стороны равны. Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но размеры могут различаться. Поэтому равные фигуры — частный случай подобных с коэффициентом 1.
Достаточно ли равенства углов, чтобы фигуры были подобны?
Нет, ещё нужно, чтобы длины всех соответствующих сторон были пропорциональны с одним коэффициентом. Равенство углов само по себе этого не гарантирует.
Как определить, какие стороны соответствуют друг другу?
Сначала сопоставь вершины по их порядку и расположению, затем сравни стороны, соединяющие соответствующие пары вершин. Запись вершин фигур в одном порядке помогает не перепутать стороны и углы.
Почему коэффициент подобия зависит от порядка фигур?
Коэффициент — это отношение длин соответствующих отрезков, и при перестановке фигур числитель и знаменатель меняются местами. Поэтому новый коэффициент становится обратным прежнему.
Может ли коэффициент подобия быть меньше единицы?
Да. Если в выбранном порядке первая фигура меньше второй, отношение её соответствующей длины к длине второй фигуры меньше единицы. Если изменить порядок фигур, коэффициент станет больше единицы.
§11. Подобие фигур
