"Геометрия", Погорелов А.В.
Точки, прямые, отрезки и углы — простейшие фигуры, из которых строят геометрические рассуждения. Их свойства помогают задавать прямые, сравнивать и вычислять длины, находить меры углов и понимать, как фигуры расположены на плоскости. Главное — не только знать правила, но и проверять, выполнены ли условия для их применения: например, лежит ли точка между концами отрезка или проходит ли луч внутри угла.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Точка — это объект, у которого нет длины, ширины и толщины; её обозначают заглавной латинской буквой, например A или B. Прямая — линия, не имеющая ни начала, ни конца; её обозначают строчной буквой, например l, или двумя заглавными буквами точек на ней. Запись A ∈ l означает, что точка A принадлежит прямой l, а A ∉ l — что не принадлежит. Такие обозначения помогают точно сообщать, какие объекты рассматриваются.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка и обычно обозначаются заглавными буквами, например A и B; сам отрезок записывают AB. Отрезок содержит концы и все точки прямой между ними. Это понятие нужно, когда рассматривают ограниченную часть прямой и измеряют её длину.
Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, соединяющего их. Например, расстояние между A и B равно длине отрезка AB; его можно выражать в сантиметрах или других единицах длины. Сам отрезок является геометрической фигурой, а его длина — числом. Различие помогает не путать объект и результат его измерения.
Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной, а лучи — сторонами угла; например, у угла AOB вершина O, а стороны — лучи OA и OB. Название угла часто записывают тремя буквами, помещая букву вершины в середину. Это позволяет отличить угол от других углов с общей вершиной.
Через любые две различные точки проходит ровно одна прямая. Если бы через те же точки можно было провести две разные прямые, они имели бы две общие точки, хотя две прямые не могут иметь больше одной общей точки, не совпадая. Поэтому пары точек достаточно, чтобы однозначно задать прямую. Когда говорят «прямая AB», имеют в виду единственную прямую, проходящую через A и B.
Если на одной прямой отмечены три различные точки, одна из них лежит между двумя другими. Это связано с тем, что прямая задаёт порядок расположения точек: двигаясь вдоль неё, мы встречаем точки одну за другой. Точка между двумя другими делит прямую на части и одновременно делит отрезок с этими концами на два меньших отрезка. Например, если C между A и B, то C находится внутри отрезка AB.
Когда C лежит между A и B, длина всего отрезка равна сумме длин его частей: AB = AC + CB. Это верно потому, что отрезок AC и отрезок CB составляют отрезок AB без промежутков и наложений. Чтобы найти неизвестную часть, из длины целого отрезка вычитают известную часть: например, AC = AB − CB. Перед вычислением нужно убедиться, что точка действительно лежит между концами целого отрезка.
Угол имеет градусную меру, показывающую, насколько широко расходятся его стороны. Если луч проходит внутри угла, он делит его на два угла, и мера исходного угла равна сумме мер этих частей. Причина в том, что части вместе полностью составляют исходный угол, не перекрывая друг друга. Поэтому можно находить целый угол сложением частей или неизвестную часть вычитанием известной из целого.
Прямая делит плоскость на две области, называемые полуплоскостями. Точки, не лежащие на прямой, находятся в одной из этих областей: если две точки расположены в разных полуплоскостях, соединяющий их отрезок должен пройти из одной области в другую. Чтобы перейти между областями, отрезок пересекает разделяющую их прямую. Если точки находятся в одной полуплоскости, это свойство не позволяет утверждать, что отрезок пересечёт прямую.
| Фигура или объект | Основное свойство | Как применяют |
|---|---|---|
| Две точки и прямая | Через две точки проходит ровно одна прямая | Задают прямую двумя точками |
| Три точки на прямой | Одна точка лежит между двумя другими | Определяют порядок точек |
| Отрезок | Если точка лежит между концами, длины частей складываются в длину отрезка | Находят целую длину или часть отрезка |
| Угол | Мера угла равна сумме мер частей, на которые его делит внутренний луч | Вычисляют целый угол или его часть |
| Прямая и плоскость | Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости | Устанавливают, пересекают ли отрезок и прямая |
Сначала определите, какая фигура дана и какое свойство к ней относится. Затем проверьте условия: например, точка должна лежать между концами отрезка, а луч — внутри угла. После этого выберите сложение или вычитание и запишите ответ с подходящей единицей измерения.
Задача 1. Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём C находится между A и B. Найдите AB, если AC = 4 см, CB = 7 см. Здесь известны обе части отрезка, а требуется найти весь отрезок. Положение точки C позволяет применить свойство сложения длин.
Ответ: 11 см. Мы складывали длины потому, что C лежит между концами A и B, поэтому части AC и CB составляют весь отрезок AB.
Задача 2. Луч OC проходит внутри угла AOB. Найдите угол AOB, если углы AOC и COB равны 35° и 48°. Луч OC делит исходный угол на две части, значит, их меры вместе дают меру AOB. Условие о внутреннем положении луча показывает, что правило сложения применимо.
Ответ: 83°. Получившийся угол больше каждой части и равен их общей мере, что соответствует расположению луча внутри угла.
Задача 3. Точки A и B лежат по разные стороны от прямой l. Что можно сказать о пересечении отрезка AB с прямой l? Нужно связать положение концов отрезка с тем, как прямая делит плоскость. Точки по разные стороны находятся в разных полуплоскостях, а отрезок соединяет их.
Ответ: отрезок AB пересекает прямую l. Это следует именно из того, что его концы расположены по разные стороны прямой.
Ошибка — считать, что через одну точку проходит только одна прямая. Такое впечатление может возникнуть, если на чертеже показана лишь одна линия, но через эту точку можно провести прямые в разных направлениях. Проверьте себя: закрепите взгляд на точке и представьте несколько линий, проходящих через неё. Единственность появляется только тогда, когда заданы две различные точки.
Ошибка — складывать длины частей, не проверив положение точки. Сложение верно, только если точка лежит между концами целого отрезка; иначе выбранные отрезки могут не составлять его. Перед вычислением отметьте порядок точек на прямой и сформулируйте, какой отрезок является целым. Если условие этого не подтверждает, равенство сумме применять нельзя.
Ошибка — путать длину отрезка и сам отрезок. Отрезок — геометрическая фигура, а длина — число с единицей измерения, например 5 см. Путаница возникает потому, что в разговоре говорят «отрезок равен пяти сантиметрам». Для проверки уточните, можно ли к названному объекту приписать единицу: она относится к длине, а не к фигуре.
Ошибка — складывать меры углов, не проверив, что луч проходит внутри исходного угла. Если луч расположен вне угла, он не делит его на две части, и простое сложение не описывает его меру. Проверьте чертёж и условие: луч должен начинаться в вершине и проходить между сторонами угла. Только тогда части вместе составляют исходный угол.
Для этой темы нужно понимать, что такое точка, прямая и луч, а также уметь обозначать геометрические фигуры. Эти начальные представления помогают читать условия и чертежи без путаницы. Если обозначения незнакомы, сначала разберите их смысл, а затем переходите к свойствам.
Свойства отрезков и углов пригодятся при изучении треугольников и равенства фигур. С их помощью находят неизвестные длины и углы, разбивая сложную фигуру на более простые части. Эти же правила лежат в основе многих вычислительных задач по геометрии.
Представление о полуплоскостях понадобится при изучении пересечения прямых и взаимного расположения фигур. Оно помогает рассуждать о том, где проходят отрезки относительно заданной прямой. Это особенно полезно, когда ответ нужно обосновать, а не только определить по рисунку.
Сколько прямых можно провести через две различные точки?
Ровно одну. Она однозначно определяется этими двумя точками, поэтому для обозначения прямой достаточно назвать их.
Как понять, какая из трёх точек лежит между двумя другими?
Если точки находятся на одной прямой, одна из них расположена между двумя остальными. Например, когда C между A и B, порядок точек на прямой — A, C, B или B, C, A.
Когда можно складывать длины двух отрезков?
Когда отрезки составляют один отрезок: их общая точка лежит между его концами. Если C лежит между A и B, то AB = AC + CB.
Как найти меру угла, разделённого внутренним лучом?
Нужно сложить меры двух углов, на которые луч разделил исходный угол. Например, если меры частей равны 35° и 48°, то весь угол равен 83°.
Как расположение двух точек относительно прямой связано с пересечением отрезка?
Если точки лежат по разные стороны от прямой, отрезок с концами в этих точках пересекает прямую. Это следует из того, что прямая разделяет плоскость на две полуплоскости.
§ 1. Основные свойства простейших геометрических фигур
