§ 31. Свойство углов с соответственно параллельными сторонами

Определения и обозначения

Соответственно параллельные стороны углов — это стороны, которые параллельны попарно: одна сторона первого угла параллельна одной стороне второго, а другая — другой. Например, лучи OA и OC могут быть параллельны лучам OB и OD соответственно. Каждая пара может иметь одинаковое или противоположное направление.

Направленные углы рассматривают с учётом того, куда идут их лучи от вершины. По величине угол бывает острым, прямым или тупым: меньше 90°, равен 90° или больше 90°. Направления сторон помогают понять, будет ли второй угол равен первому или дополнит его до 180°.

Смежные углы — это два угла с общей стороной, у которых две другие стороны являются противоположными лучами. Такие углы имеют общую вершину и общую сторону, а их сумма равна 180°. Поэтому смежность объясняет появление дополнительного к данному угла.

Вертикальные углы — это углы, стороны которых являются продолжениями сторон друг друга. Они расположены напротив и равны. Если обе пары соответствующих лучей поменять на противоположные, возникает именно такая ситуация.

Как это устроено

Построим угол A с лучами a и b, а угол B с лучами c и d так, чтобы a ∥ c, b ∥ d. У параллельных прямых есть два возможных направления: лучи могут идти в одну сторону или навстречу друг другу. Поэтому одной записи о параллельности недостаточно — нужно сравнить направление каждой соответствующей пары.

Если a и c направлены одинаково, а b и d тоже направлены одинаково, стороны двух углов занимают одинаковое положение. Угол между двумя лучами определяется поворотом от одной стороны к другой, поэтому при одинаковом расположении сторон величина этого угла не меняется. Значит, углы равны.

Предположим, что направление первой пары одинаково, а второй пары противоположно. Тогда одна сторона второго угла является продолжением соответствующей стороны первого, и углы оказываются смежными по расположению. Смежные углы дополняют друг друга до развёрнутого угла, поэтому их сумма равна 180°.

Если противоположно направлены обе пары лучей, каждая сторона одного угла является продолжением соответствующей стороны другого. Получаются вертикальные углы, а вертикальные углы равны. Таким образом, изменение направления сразу у двух сторон снова не меняет величину угла.

Все случаи можно объединить в одно свойство: углы с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо в сумме составляют 180°. Равенство получается, когда направления обеих пар одинаковы или обеих пар противоположны. Сумма 180° получается, когда противоположно направлена только одна пара.

Углы с соответственно параллельными сторонами

Пользуйтесь таблицей после того, как установите, какая сторона одного угла соответствует каждой стороне другого. Затем отдельно проверьте направление первой и второй пары лучей. Если направления различаются только в одной паре, складывайте углы, а в двух остальных случаях приравнивайте их.

Разбор задач

Задача 1

Угол A равен 48°. Угол B имеет стороны, соответственно параллельные сторонам угла A и направленные так же. Требуется найти угол B. Здесь сразу указано, что обе пары соответствующих лучей имеют одинаковое направление.

1. Сопоставим первую сторону угла A с первой стороной угла B, а вторую — со второй.
2. Обе пары лучей направлены одинаково, поэтому углы равны.
3. Запишем: ∠B = ∠A = 48°.

Ответ: 48°.

Задача 2

Угол C равен 125°. Стороны угла D соответственно параллельны сторонам угла C, но одна пара лучей направлена противоположно. Нужно найти возможные величины угла D. Такое условие означает, что возможны два положения, которые надо проверить по свойству.

1. При одинаковом направлении второй пары углы могут быть равными: ∠D = 125°.
2. При противоположном направлении одной пары углы дополняют друг друга до 180°.
3. Вычислим второй вариант: ∠D = 180° − 125° = 55°.
4. Оба результата допустимы: 125° — тупой угол, а 55° — острый.

Ответ: 125° или 55°, в зависимости от расположения лучей.

Задача 3

∠E = 3x + 10°, ∠F = 5x − 30°. Стороны углов соответственно параллельны, углы не равны и составляют 180°. Неравенство углов сразу подсказывает, что нужно использовать случай противоположного направления одной пары сторон.

1. Составим уравнение: (3x + 10°) + (5x − 30°) = 180°.
2. Раскроем скобки: 8x − 20 = 180, поэтому 8x = 200 и x = 25.
3. Найдём углы: ∠E = 3 · 25 + 10 = 85°, ∠F = 5 · 25 − 30 = 95°.
4. Проверим: 85° + 95° = 180°, а углы действительно не равны.

Ответ: x = 25; углы равны 85° и 95°.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать, что любые такие углы равны. Так бывает, если запомнить только слово «параллельны» и забыть о направлениях лучей. Проверьте обе пары: при противоположном направлении только одной пары сумма равна 180°.

Ошибка 2. Определять результат только по виду рисунка. Неточный чертёж может сделать острый угол похожим на тупой или скрыть продолжение луча. Мысленно продолжите стороны и сравните направления каждой пары.

Ошибка 3. Путать соответственно параллельные стороны с любыми параллельными сторонами. Если сопоставить стороны неправильно, правило применится к другим углам. Сначала подпишите, какая сторона первого угла соответствует первой и второй сторонам второго.

Ошибка 4. Сразу записывать сумму 180° без доказательства. Сам факт параллельности ещё не показывает, что углы смежные. Сначала установите противоположное направление одной пары и только затем используйте свойство смежных углов.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия угла, луча, параллельных прямых и градусной меры. Без них нельзя описать стороны углов и сравнить их величины.

Смежные и вертикальные углы объясняют два результата свойства. Смежные дают сумму 180°, а вертикальные — равенство углов.

Свойство применяется в задачах о параллельных прямых, пересечении линий и геометрических доказательствах. Оно помогает переходить от параллельности сторон к числовым отношениям между углами.

Что запомнить

• Сравнивать нужно соответствующие стороны двух углов.
• Соответствующие стороны должны быть параллельны попарно.
• Такие углы равны или в сумме составляют 180°.
• Выбор случая зависит от направлений лучей.
• Нельзя делать вывод только по внешнему виду чертежа.
• В задачах с неизвестными величинами составьте равенство или уравнение.