72. Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку

Определения и обозначения

Биссектриса угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Например, если луч AX делит ∠A пополам, то ∠BAX = ∠XAC; его называют биссектрисой ∠A. Это обозначение помогает показать на чертеже, что два угла равны, и использовать равенство при доказательстве.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Если из точки P проведён перпендикуляр к прямой l с основанием H, то расстояние обозначают PH. На чертеже у основания перпендикуляра ставят маленький квадратик — знак прямого угла. Благодаря этому можно отличить расстояние от наклонного отрезка, который до прямой не перпендикулярен.

Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину. Если O — середина AB, то серединный перпендикуляр проходит через O под прямым углом к AB. Оба условия обязательны: одного пересечения с серединой или одной перпендикулярности недостаточно. Это определение позволяет точно установить, какую прямую имеют в виду в задаче.

Как это устроено

Пусть точка P лежит на биссектрисе угла. Опустим из P перпендикуляры PH и PK на стороны угла: PH ⟂ одной стороне, PK ⟂ другой. Получаются прямоугольные треугольники с общей гипотенузой AP. У вершины A углы этих треугольников равны, потому что AP — биссектриса, поэтому треугольники равны. Значит, их соответствующие катеты PH и PK тоже равны.

Отрезок PH задаёт именно расстояние от P до стороны угла, потому что он соединяет точку P с точкой H на этой стороне и перпендикулярен ей. Среди всех отрезков от P до точек прямой только перпендикуляр имеет наименьшую длину; именно его длину в геометрии называют расстоянием. Наклонный отрезок до той же стороны не подходит, даже если он соединяет P с этой прямой. Аналогично отрезок PK измеряет расстояние до второй стороны.

Равенство прямоугольных треугольников объясняет, почему точка на биссектрисе равноудалена от сторон, а не просто сообщает готовый результат. В треугольниках совпали гипотенуза AP и прилежащие к ней острые углы, следовательно, равны и треугольники целиком. Тогда равны соответствующие перпендикулярные катеты: PH = PK. Поэтому при проверке расстояний нужно сравнивать длины перпендикуляров, а не любые отрезки от точки к сторонам.

Пусть O — середина AB, а прямая через O перпендикулярна AB. Возьмём на ней точку M и соединим её с A и B. Треугольники MOA и MOB прямоугольные: углы при O прямые. Их катеты OA и OB равны, поскольку O — середина AB, а MO — общий катет. По двум катетам треугольники равны, поэтому MA = MB: точка M одинаково удалена от концов отрезка.

Обратное свойство можно обосновать, если M равноудалена от A и B. Отметим середину O отрезка AB и проведём MO. Треугольники MOA и MOB имеют равные гипотенузы MA и MB, а также общий катет MO, значит, они равны по гипотенузе и катету. Поэтому углы при O равны; поскольку они смежные, каждый из них прямой. Следовательно, MO перпендикулярен AB и проходит через его середину, а значит, M лежит на серединном перпендикуляре.

Свойства биссектрисы и серединного перпендикуляра

В таблице собраны свойства и обратные к ним утверждения. Если известна принадлежность точки прямой, переходите к следствию; если известны равные расстояния, используйте обратное утверждение. Для угла расстояния измеряются перпендикулярами до сторон, а для отрезка сравниваются расстояния до его концов.

Разбор задач

Задача 1. Точка P лежит на биссектрисе угла. Перпендикуляры из P к сторонам угла равны 4 см и x см. Найдите x.

1. Так как P лежит на биссектрисе, расстояния от неё до сторон угла равны.
2. Оба указанных отрезка являются перпендикулярами, поэтому они измеряют именно эти расстояния.
3. Приравниваем длины: x = 4 см.

Ответ: 4 см. Здесь не требуется искать длины наклонных отрезков: даны именно перпендикуляры к сторонам.

Задача 2. Отрезок AB равен 10 см. Точка M лежит на его серединном перпендикуляре. Найдите MA, если MB = 7 см.

1. Принадлежность M серединному перпендикуляру означает, что расстояния от M до концов AB равны.
2. Записываем равенство MA = MB.
3. Подставляем MB = 7 см и получаем MA = 7 см. Длина AB здесь не меняет ответ: она помогает определить отрезок, но для равенства расстояний не нужна.

Ответ: 7 см.

Задача 3. Точка M равноудалена от концов отрезка AB. Докажите, что M лежит на серединном перпендикуляре к AB.

1. Обозначим середину AB буквой O и проведём MO. Тогда AO = OB, а отрезок MO является общим для треугольников MOA и MOB.
2. По условию MA = MB. В треугольниках MOA и MOB равны гипотенузы MA и MB и катеты MO, поэтому прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету.
3. Из равенства треугольников следует, что углы AOM и MOB равны. Они смежные, значит, каждый равен 90°, и MO ⟂ AB.
4. Прямая MO проходит через середину O и перпендикулярна AB. По определению это серединный перпендикуляр, следовательно, M лежит на нём.

Ответ: доказано. Середина нужна, чтобы сравнить части AB, а равенство расстояний от M — чтобы получить равенство треугольников.

Типичные ошибки

Расстоянием от точки до стороны иногда называют длину наклонного отрезка. Так ошибаются, потому что на чертеже наклонная может выглядеть почти как перпендикуляр. Проверьте, отмечен ли прямой угол у основания: расстояние измеряют только перпендикуляром.

Нельзя заключать, что любая точка внутри угла равноудалена от его сторон. Это верно для точки на биссектрисе, а не для произвольной точки; путаница возникает из-за того, что точка находится внутри угла. Опустите оба перпендикуляра и сравните их длины либо сначала установите, лежит ли точка на биссектрисе.

Серединный перпендикуляр часто путают с медианой или с любой прямой, перпендикулярной отрезку. Медиана треугольника проходит через середину стороны, но может идти под другим углом; перпендикуляр же может не попасть в середину. Для проверки убедитесь сразу в двух условиях: прямая проходит через середину и образует с отрезком угол 90°.

Ещё одна ошибка — использовать обратное свойство серединного перпендикуляра без доказательства: из равенства MA и MB сразу объявляют, что M лежит на нужной прямой. Равные расстояния дают такое заключение, но в доказательстве нужно связать их с серединой AB и перпендикулярностью. Проверьте, что построены треугольники к концам отрезка и обосновано их равенство.

Связь с другими темами

Для доказательств нужны понятия перпендикулярных прямых, расстояния от точки до прямой и признаки равенства прямоугольных треугольников. Полученные свойства помогают доказывать равенство отрезков и находить геометрические места точек — множества точек с общим условием. В треугольнике они применяются к биссектрисам углов и серединным перпендикулярам к сторонам. Пересечения биссектрис связаны с центром вписанной окружности, а пересечения серединных перпендикуляров — с центром описанной окружности.

Что запомнить

• Точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон.
• Равные расстояния до сторон угла указывают на биссектрису.
• Точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка.
• Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре.
• Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру.