§ 3. Четыре замечательные точки треугольника

Определения и обозначения

Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединный перпендикуляр проходит через середину стороны и образует с ней прямой угол. Центр равноудалён от всех вершин, поэтому из него можно провести окружность, проходящую через каждую вершину.

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис углов треугольника. Биссектриса делит угол на две равные части, а точка на ней равноудалена от сторон угла. Поэтому эта точка подходит для построения окружности, касающейся всех трёх сторон.

Точка пересечения медиан — общая точка медиан треугольника. Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины; это позволяет находить части медианы по её полной длине.

Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника. Высота — перпендикуляр, проведённый из вершины к противоположной стороне или её продолжению. Определение подходит и для треугольника, у которого высота целиком не проходит внутри фигуры.

Как это устроено

Серединный перпендикуляр к отрезку состоит из точек, одинаково удалённых от его концов. Например, любая его точка находится на одном расстоянии от двух вершин, образующих сторону. Если пересечь серединные перпендикуляры к двум сторонам, полученная точка окажется равноудалённой от всех трёх вершин. Значит, она лежит и на серединном перпендикуляре к третьей стороне, а окружность с центром в этой точке пройдёт через все вершины.

Точка на биссектрисе угла равноудалена от двух сторон этого угла: расстояние измеряют по перпендикуляру к каждой стороне. В точке пересечения биссектрис треугольника это свойство относится сразу к сторонам разных углов. Поэтому расстояния от точки до всех трёх сторон равны. Если взять это общее расстояние за радиус, окружность коснётся каждой стороны; так получают вписанную окружность.

Медианы пересекаются в одной точке, и она делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины. Это можно объяснить через свойства параллельных прямых и средних линий: построение вспомогательных отрезков создаёт равные или пропорциональные части, из которых следует указанное отношение. Значит, от вершины до общей точки медианы путь вдвое длиннее, чем от общей точки до середины противоположной стороны. Это свойство позволяет вычислить часть медианы, если известна её полная длина.

Высоты треугольника тоже пересекаются в одной точке — ортоцентре. В остроугольном треугольнике перпендикуляры из вершин попадают на сами противоположные стороны, поэтому встречаются внутри фигуры. У прямоугольного треугольника две высоты совпадают с его катетами, и их общая вершина является ортоцентром. В тупоугольном треугольнике некоторые высоты приходится проводить к продолжениям сторон, поэтому их пересечение оказывается снаружи.

Положение центра описанной окружности также определяется видом треугольника. В остроугольном треугольнике серединные перпендикуляры пересекаются внутри, а в тупоугольном — вне. В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы равноудалена от всех вершин: гипотенуза является диаметром описанной окружности, а её середина — центром. Поэтому при построениях важно учитывать не только название точки, но и форму треугольника.

Четыре замечательные точки треугольника

Сначала найди в задаче ключевое свойство: равноудалённость от вершин или сторон, деление медианы либо перпендикулярность высот. Затем выбери соответствующие линии из второго столбца. Последний столбец поможет проверить, правдоподобно ли расположена найденная точка.

Разбор задач

Задача 1. Постройте точку, равноудалённую от вершин данного треугольника, и объясните, как найти радиус описанной окружности. Нужно подобрать линии, каждая точка которых обладает нужным свойством равных расстояний. Сравни расстояния от будущего центра до концов каждой стороны.

1. Проведи серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника. Их точка пересечения равноудалена от концов обеих сторон.
2. Обозначь пересечение буквой O. Так как стороны имеют общую вершину, расстояния от O до всех трёх вершин равны.
3. Измерь расстояние от O до любой вершины, например OA. Его и возьми за радиус описанной окружности.

Ответ: центр — точка пересечения серединных перпендикуляров, радиус равен расстоянию от неё до любой вершины. Для проверки можно измерить расстояния до остальных вершин: они должны совпасть. Третий перпендикуляр проходит через O, даже если его отдельно не строили.

Задача 2. В треугольнике ABC проведены медианы AM и BN, пересекающиеся в точке G. Найдите AG, если AM = 12 см. Здесь важен не факт пересечения двух медиан, а правило деления каждой медианы общей точкой. Отрезок от вершины до G составляет две из трёх равных по отношению частей всей медианы.

1. Запиши свойство: точка пересечения медиан делит AM в отношении AG:GM = 2:1.
2. Всего в отношении 2:1 содержится 3 части, поэтому AG составляет ⅔ медианы AM.
3. Подставь длину: AG = ⅔ · 12 см = 8 см.

Ответ: AG = 8 см. Проверка: оставшаяся часть GM равна 4 см, а 8:4 = 2:1. Не дели 12 пополам: точка G не является серединой медианы.

Задача 3. Докажите, что точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной окружности. Для этого нужно показать, что из этой точки можно провести окружность, касающуюся всех сторон. Удобно сравнить перпендикулярные расстояния от точки до сторон, а не расстояния до вершин.

1. Обозначь точку пересечения биссектрис через I. Поскольку I лежит на биссектрисе каждого угла, она равноудалена от сторон этого угла.
2. Примени свойство сначала к двум сторонам одного угла, затем — к сторонам другого угла. Общая сторона позволяет заключить, что расстояния от I до всех трёх сторон равны.
3. Проведи окружность с центром I и радиусом, равным этому расстоянию. Равенство перпендикулярных расстояний означает, что окружность касается каждой стороны.

Ответ: точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон, поэтому служит центром вписанной окружности. Радиусом является расстояние от точки I до любой стороны. Так доказано нужное свойство, а не только найдено место пересечения линий.

Типичные ошибки

Неверно называть центр описанной окружности точкой пересечения медиан. Путаница возникает потому, что и медианы, и серединные перпендикуляры пересекаются в общей точке. Проверь, какие отрезки заданы: для центра описанной окружности проводят перпендикуляры через середины сторон, а не линии из вершин к серединам противоположных сторон.

Центр вписанной окружности не равноудалён от вершин — он равноудалён от сторон. Ошибка появляется из-за того, что слова «вписанная» и «описанная» легко перепутать. Чтобы проверить себя, представь окружность: её центр вписанной окружности соединён равными радиусами с точками касания на сторонах, тогда как расстояния до вершин не обязаны быть одинаковыми.

Нельзя делить медиану точкой пересечения медиан в отношении 1:2, если считать от вершины. Иногда порядок чисел запоминают, не указывая, откуда отсчитывается отношение. Проверь расположение отрезков: часть от вершины вдвое длиннее части до середины стороны, то есть AG:GM = 2:1.

Ортоцентр и центр описанной окружности находятся внутри не при любом треугольнике. Такое правило подходит только для остроугольного треугольника, поэтому его ошибочно переносят на все случаи. Проверь углы: у тупоугольного оба центра вне треугольника, а у прямоугольного ортоцентр — вершина прямого угла и центр описанной окружности — середина гипотенузы.

Связь с другими темами

Для работы с замечательными точками нужно знать, что такое медиана, биссектриса, высота и серединный перпендикуляр. Также пригодятся свойства точек, равноудалённых от концов отрезка или от сторон угла. Эти знания помогают понять, почему пересечение линий обладает нужным свойством, а не просто запомнить название точки.

Построения центров используются при построении вписанных и описанных окружностей. Свойства этих точек помогают решать задачи на вычисление и доказательство, а также исследовать треугольники. Например, отношение 2:1 позволяет находить части медиан, а равноудалённость помогает определять радиус окружности.

Что запомнить

• Серединные перпендикуляры пересекаются в центре описанной окружности.
• Биссектрисы углов пересекаются в центре вписанной окружности.
• Медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1 от вершины.
• Высоты треугольника пересекаются в ортоцентре.
• Центр вписанной окружности равноудалён от сторон треугольника.
• Расположение центра описанной окружности и ортоцентра зависит от вида треугольника.