"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Вписанный угол образуется двумя хордами окружности, а его вершина находится на окружности. Он связан с центральным углом и дугой, на которую опирается: если углы опираются на одну дугу, вписанный вдвое меньше центрального. Это правило помогает находить углы и дуги, доказывать равенство углов и решать задачи о треугольниках, вписанных в окружность. Особый случай — угол, опирающийся на диаметр: он всегда прямой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Например, если вершина угла C находится на окружности, а стороны проходят через точки A и B, угол ACB — вписанный. Это определение помогает отличить его от угла с вершиной в центре.
Дуга, на которую опирается вписанный угол, — часть окружности между точками пересечения его сторон с окружностью, расположенная внутри угла. Для угла ACB это дуга AB, которая лежит в области угла. Она нужна, чтобы правильно определить, какую именно дугу использовать при вычислениях.
Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Его стороны пересекают окружность в двух точках, а угол опирается на дугу между ними. Сравнивая центральный угол с вписанным, опирающимся на ту же дугу, можно находить градусные меры углов и дуг.
Угол, опирающийся на диаметр, — вписанный угол, стороны которого проходят через концы диаметра. Диаметр делит окружность на полуокружности, каждая из которых равна 180°. Это частный случай теоремы, благодаря которому можно сразу установить, что угол равен 90°.
Вписанный и центральный углы можно сравнивать, если их стороны пересекают окружность в одних и тех же точках. Тогда оба угла опираются на одну дугу, хотя вершины у них расположены по-разному: у центрального — в центре, у вписанного — на окружности. Чтобы увидеть связь, из центра проводят радиусы к концам вписанного угла. Получаются равнобедренные треугольники, в которых углы при основаниях равны.
Теорема о вписанном угле: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Поскольку градусная мера дуги равна мере соответствующего центрального угла, вписанный угол равен половине меры дуги. Например, если дуга составляет 100°, угол, опирающийся на неё, равен 50°. Здесь принципиально, что сравниваются углы и дуга, связанные одними и теми же концами.
Если центр окружности лежит на одной из сторон вписанного угла, он находится на прямой, проходящей через вершину и один конец угла. Проведём радиус к другой вершине угла: вместе с радиусом к первой вершине он образует равнобедренный треугольник, потому что все радиусы равны. Обозначим вписанный угол через α, а угол при основании треугольника — через β; второй угол при основании тоже равен β. Тогда α = β, а центральный угол равен 180° − 2β. Угол между стороной угла и продолжением радиуса даёт соотношение, из которого следует: центральный угол, опирающийся на нужную дугу, равен 2α.
Когда центр расположен внутри угла или вне его, через вершину вписанного угла проводят диаметр. Он делит угол на части, для которых центр оказывается на стороне, и уже доказанное соотношение можно применить отдельно. Если центр внутри угла, нужный угол получают как сумму частей, а соответствующий центральный угол — как сумму соответствующих углов. Если центр снаружи, нужные углы выражаются как разности. В обоих случаях сложение или вычитание сохраняет отношение «вписанный угол вдвое меньше центрального».
Из теоремы сразу следуют два полезных результата. Если два вписанных угла опираются на одну дугу, каждый равен половине центрального угла, связанного с этой дугой, значит, эти вписанные углы равны. Если дуга стянута диаметром, её мера равна 180°, поэтому вписанный угол равен 180° : 2 = 90°.
| Ситуация | Соотношение | Следствие |
|---|---|---|
| Вписанный и центральный углы опираются на одну дугу | Вписанный угол равен половине центрального | Мера вписанного угла равна половине меры соответствующей дуги |
| Два вписанных угла опираются на одну дугу | Углы равны | Один угол можно найти по другому |
| Вписанный угол опирается на диаметр | Мера дуги равна 180° | Угол равен 90° |
Сначала определи, какая ситуация изображена или описана в задаче, а затем найди соответствующую строку таблицы. Для первой строки важно убедиться, что углы опираются на одну и ту же дугу. В последней строке 180° — мера дуги, а не самого вписанного угла.
Задача 1. Центральный угол опирается на дугу в 84°. Найдите вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. Чтобы не перепутать направление вычисления, вспомним: вписанный угол вдвое меньше центрального. Значит, нужно разделить известную меру центрального угла на два.
Ответ: 42°.
Задача 2. Вписанный угол равен 37°. Найдите градусную меру дуги, на которую он опирается. Здесь известен вписанный угол, а требуется дуга, поэтому нужно выполнить обратное действие: дуга вдвое больше угла. Умножаем данную величину на два и получаем меру дуги.
Ответ: 74°.
Задача 3. В окружности AB — диаметр, точка C лежит на окружности, а ∠BAC = 28°. Найдите ∠ACB и ∠ABC. Сначала используем тот факт, что угол при вершине C опирается на диаметр AB и потому прямой. Затем воспользуемся суммой углов треугольника ABC, равной 180°.
Ответ: ∠ACB = 90°, ∠ABC = 62°.
Иногда вписанный и центральный углы считают равными. Так происходит, если забыть, что вершины углов расположены в разных местах, и не применить теорему. Проверь себя: если углы опираются на одну дугу, вписанный должен быть вдвое меньше центрального.
Другая ошибка — брать половину любой дуги окружности. Причина в том, что на рисунке легко заметить не ту часть между концами сторон. Найди точки пересечения сторон угла с окружностью и выбери дугу, лежащую внутри угла; именно её меру нужно делить на два.
Можно неверно назвать опирающейся большую дугу между концами сторон. Это особенно легко сделать, если вершина угла расположена так, что малая дуга кажется не связанной с углом. Проверка простая: дуга, на которую опирается угол, находится внутри его области, а её концы совпадают с точками пересечения сторон и окружности.
Ещё путают меру дуги, стянутой диаметром, и меру угла. Полуокружность действительно равна 180°, но вписанный угол составляет половину этой меры. Чтобы проверить ответ, раздели 180° на два: угол, опирающийся на диаметр, равен 90°, а не 180°.
Для изучения теоремы нужны понятия окружности, радиуса и центрального угла, а в доказательстве используется свойство равнобедренного треугольника: углы при основании равны. Теорема пригодится при нахождении неизвестных углов и дуг, а также при доказательстве равенства углов. С её помощью решают задачи о треугольниках и вписанных четырёхугольниках: знание одной дуги или угла часто позволяет найти другие элементы фигуры.
Как понять, на какую дугу опирается вписанный угол?
Найди точки, где стороны угла пересекают окружность. Искомая дуга соединяет эти точки и расположена внутри угла, не включая его вершину.
Почему вписанный угол вдвое меньше центрального?
Радиусы, проведённые к концам дуги, образуют равнобедренные треугольники. Равенство углов при их основаниях позволяет выразить центральный угол через вписанный и получить соотношение: центральный вдвое больше.
Можно ли применить теорему, если центр окружности находится вне угла?
Да. Проведи через вершину вписанного угла диаметр и рассмотри углы по обе стороны от него. Вычитание или сложение полученных соотношений приводит к той же теореме.
Как найти дугу, если известен вписанный угол?
Умножь градусную меру вписанного угла на 2. Например, углу 37° соответствует дуга 74°.
Почему угол, опирающийся на диаметр, прямой?
Диаметр стягивает полуокружность, мера которой равна 180°. Вписанный угол равен половине меры этой дуги, поэтому он равен 90°.
71. Теорема о вписанном угле
