"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Метод подобия помогает находить неизвестные отрезки в задачах с окружностью. Сравнивая подобные треугольники, получают важные метрические соотношения: произведения частей пересекающихся хорд равны, для двух секущих равны произведения внешней части на всю секущую, а квадрат касательной равен такому же произведению. Эти формулы позволяют составлять уравнения и решать задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Метод подобия — способ находить отношения отрезков и доказывать равенства через подобие треугольников. У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Поэтому геометрическую задачу можно свести к пропорции или уравнению.
Пересекающиеся хорды — хорды одной окружности, имеющие общую точку внутри неё. Эта точка делит каждую хорду на две части. Сравнение треугольников, образованных хордами и их точкой пересечения, приводит к равенству произведений частей.
Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках. Если секущая проведена из внешней точки, её часть от этой точки до ближайшей точки окружности называют внешней, а часть внутри окружности — внутренней. Длина от внешней точки до дальней точки окружности называется всей секущей.
Касательная и секущая из одной точки — касательная касается окружности в одной точке, а секущая пересекает её в двух точках; обе прямые выходят из одной внешней точки. Для них существует отдельное метрическое соотношение. Оно связывает длину касательной с внешней и полной длиной секущей.
При пересечении хорд внутри окружности образуются два треугольника с общей вершиной в точке пересечения. Угол при этой вершине у них равен, потому что это вертикальные углы. Ещё по одному углу можно считать равными как вписанные, если они опираются на одну и ту же дугу, поэтому треугольники подобны по двум углам.
Из подобия соответствующие стороны пропорциональны. После перемножения крайних и средних членов пропорции общие стороны сокращаются, и получается равенство произведений частей хорд: a · b = c · d. Значит, результат объясняется не рисунком, а пропорциональностью сторон подобных треугольников.
Для двух секущих из одной внешней точки рассуждение остаётся тем же: возникают два треугольника, у которых есть общий угол во внешней точке. Вторые углы равны как вписанные, поскольку опираются на одну дугу или на соответствующие дуги окружности. В пропорции одной стороне каждого треугольника соответствует внешняя часть секущей, а другой — вся секущая, поэтому получается a · l = b · m.
Если одна из прямых является касательной, треугольники также можно связать подобием, используя угол между касательной и хордой. При сопоставлении сторон две соответствующие стороны оказываются равными одной и той же касательной, поэтому она появляется в произведении дважды. В результате t² = a · l, где t — касательная, a — внешняя часть секущей, l — вся секущая.
| Расположение отрезков | Равенство | Какие отрезки перемножаются |
|---|---|---|
| Две хорды пересекаются внутри окружности | Отрезок первой хорды × второй отрезок первой хорды = отрезок второй хорды × второй отрезок второй хорды | Две части каждой хорды, полученные точкой пересечения |
| Две секущие проведены из одной внешней точки | Внешняя часть первой секущей × вся первая секущая = внешняя часть второй секущей × вся вторая секущая | Внешняя часть и вся секущая для каждой прямой |
| Из одной внешней точки проведены касательная и секущая | Квадрат касательной = внешняя часть секущей × вся секущая | Длина касательной; внешняя часть и вся секущая |
Пользуйтесь таблицей после того, как определите положение точки и отрезков. Сначала подпишите части хорд или секущих, затем выберите подходящую строку и подставьте известные длины.
У секущей обязательно различайте внешнюю часть и всю секущую. Если известны внешняя и внутренняя части, сложите их, чтобы получить полную длину.
Части одной хорды равны 3 см и 8 см, одна часть другой хорды равна 4 см. Требуется найти вторую часть. Обозначим неизвестную часть буквой x.
Ответ: вторая часть другой хорды равна 6 см. Проверка показывает, что произведения равны: 3 · 8 = 4 · 6 = 24.
Из внешней точки проведены две секущие. Внешняя часть первой равна 4 см, вся первая секущая — 10 см, внешняя часть второй — 5 см. Нужно найти всю вторую секущую.
Ответ: длина второй секущей равна 8 см. В уравнении использованы внешняя часть и вся секущая, а не две внутренние части.
Касательная из внешней точки имеет длину 12 см, внешняя часть секущей равна 8 см. Требуется найти внутреннюю часть секущей. Обозначим внутреннюю часть через x, тогда вся секущая равна 8 + x.
Ответ: внутренняя часть секущей равна 10 см. Вся секущая при этом равна 18 см, и проверка даёт 8 · 18 = 144 = 12².
Первая ошибка — перемножать внешнюю часть секущей только на внутреннюю. Так поступают, потому что обе части видны внутри одной линии, но формула требует всю секущую. Проверьте себя: одна сторона произведения должна идти от внешней точки до дальней точки окружности.
При пересечении хорд иногда перемножают отрезки разных хорд. Ошибка возникает из-за неверного чтения схемы и приводит к смешению частей. Подпишите две части каждой хорды и убедитесь, что в каждом произведении стоят именно части одной хорды.
Нельзя возводить в квадрат отрезок секущей вместо касательной. Такое происходит, когда в условии много длин и не сразу выделяется особая прямая. Перед вычислением найдите касательную и проверьте, что квадрат относится именно к её длине.
Нельзя считать отрезки равными только по внешнему виду рисунка. Также опасно выбирать соответствующие стороны без доказательства подобия треугольников. Сначала укажите равные углы и признак подобия, а затем составьте пропорцию.
Для изучения метода нужны признаки подобия треугольников, свойства вписанных углов и умение составлять отношения соответствующих сторон. Вписанные углы помогают доказать равенство углов, а подобие превращает это равенство в пропорцию.
Полученные соотношения применяются в задачах на длины хорд, секущих и касательных. Они также помогают проводить доказательства, где несколько прямых пересекают одну окружность.
Как понять, какие треугольники нужно сравнить при пересечении хорд?
Ищите треугольники, вершины которых лежат на концах хорд и в точке их пересечения. У них есть общий угол, а другие углы равны как вписанные, если опираются на одну и ту же дугу. После этого проверьте соответствие сторон и составьте пропорцию.
Почему в равенстве для секущих используется вся секущая, а не только её внутренняя часть?
При подобии треугольников одна сторона соответствует всей секущей, то есть от внешней точки до дальней точки окружности. Поэтому в произведении появляется внешняя часть, умноженная на всю секущую. Внутренняя часть входит в длину всей секущей: вся секущая = внешняя часть + внутренняя часть.
Какое соотношение связывает касательную и секущую из одной точки?
Квадрат длины касательной равен произведению внешней части секущей на всю секущую: t² = a · l. Здесь t — касательная, a — внешняя часть секущей, l — вся секущая.
Что делать, если в задаче неизвестна внешняя или внутренняя часть секущей?
Сначала обозначьте неизвестный отрезок буквой и запишите основное соотношение. Если известны внешняя и внутренняя части, выразите всю секущую как их сумму. Затем решите полученное уравнение и проверьте, что длина положительна.
Можно ли применять эти соотношения, если рисунок не выполнен в масштабе?
Да, можно. Соотношения основаны не на зрительном восприятии рисунка, а на доказанных свойствах подобных треугольников. Равенство или неравенство отрезков нужно брать только из условия или доказательства.
3.4. Метод подобия и некоторые метрические соотношения в окружности
