"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Биссектриса угла делит его на две равные части, а биссектриса треугольника соединяет вершину с противоположной стороной. Её главное свойство связывает длины частей этой стороны с длинами двух сторон, прилежащих к углу: BD/DC = AB/AC. Это отношение помогает находить неизвестные отрезки и стороны треугольника. Чтобы не перепутать числа, важно сохранять порядок соответствующих отрезков в пропорции.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Биссектриса угла треугольника — луч, выходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Например, если луч AD делит угол A треугольника ABC, то ∠BAD = ∠DAC. Это определение помогает понять, какой именно луч можно использовать в свойстве: он должен делить угол пополам, а не просто выходить из вершины.
Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной. Если биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D, обозначают отрезок AD, а точку D считают лежащей на BC. Такое обозначение показывает, какие два треугольника образовались и на какие части разделена сторона: BD и DC.
Свойство биссектрисы треугольника: если AD — биссектриса угла A треугольника ABC и D лежит на BC, то BD/DC = AB/AC. Иными словами, части стороны BC относятся друг к другу так же, как стороны AB и AC, прилежащие к углу A. Это равенство нужно, чтобы находить неизвестную часть стороны или неизвестную прилежащую сторону по остальным данным.
Рассмотрим треугольник ABC и проведём биссектрису AD из вершины A к стороне BC. Точка D находится на BC, поэтому исходная сторона разделилась на два отрезка — BD и DC. Треугольники ABD и ACD имеют основания BD и DC на одной прямой BC. Такое построение удобно: оно позволяет сравнить части стороны, используя площади двух получившихся треугольников.
По определению AD — биссектриса угла A, значит, она делит его на равные углы: ∠BAD = ∠DAC. Это равенство — не дополнительное условие, а прямое следствие того, что AD названа биссектрисой. Оно понадобится при сравнении площадей через стороны треугольников: в обоих треугольниках стороны AB и AC образуют с AD равные углы.
Сначала найдём отношение площадей треугольников ABD и ACD через их основания. Проведём из A перпендикуляр к прямой BC и обозначим его длину h; это общая высота обоих треугольников. Тогда их площади равны ½ · BD · h и ½ · DC · h, поэтому отношение площадей равно BD/DC: одинаковые множители ½ и h сокращаются. Здесь важно, что высота одна и та же, а основания лежат на одной прямой.
Теперь используем формулу площади через две стороны и угол между ними. Для ABD площадь равна ½ · AB · AD · sin ∠BAD, а для ACD — ½ · AC · AD · sin ∠DAC. Углы равны, следовательно, равны и их синусы; множители ½, AD и синус сокращаются. Поэтому отношение площадей этих треугольников также равно AB/AC.
Обе записи относятся к одним и тем же площадям: первая дала BD/DC, вторая — AB/AC. Приравнивая результаты, получаем BD/DC = AB/AC — свойство биссектрисы треугольника. Чтобы применить его, подставьте известные длины и решите пропорцию, сохраняя порядок соответствующих отрезков. Если нужно найти обе части BC, используйте ещё равенство BD + DC = BC.
| Что известно | Соотношение | Что можно найти |
|---|---|---|
| AD — биссектриса угла A; D ∈ BC | ∠BAD = ∠DAC | Равенство углов |
| Стороны, прилежащие к углу A | AB и AC | Отношение сторон |
| Отрезки противоположной стороны | BD и DC | Отношение частей стороны |
| Биссектриса и стороны треугольника | BD/DC = AB/AC | Неизвестный отрезок или сторону |
Сначала проверьте, что указанный отрезок действительно является биссектрисой, затем найдите две стороны при этом угле и две части противоположной стороны. Записывайте их отношения в одинаковом порядке: BD соответствует AB, а DC — AC. Если требуется найти обе части BC, дополнительно используйте их сумму.
Задача 1. В треугольнике ABC AD — биссектриса, AB = 6, AC = 9, BD = 4. Найдите DC. Нужно связать неизвестный отрезок с известными длинами: для этого составим пропорцию по свойству биссектрисы. Сохраняем порядок частей BC и прилежащих сторон, чтобы BD соответствовал AB, а DC — AC.
Ответ: DC = 6. Проверка: отношение BD к DC равно 4/6 = 2/3, и отношение AB к AC равно 6/9 = 2/3. Результат согласуется со свойством.
Задача 2. В треугольнике ABC AD — биссектриса, BD = 5, DC = 8, AC = 12. Найдите AB. Здесь известны обе части противоположной стороны и одна прилежащая сторона. Из пропорции удобно выразить именно AB, не переворачивая одно отношение отдельно от другого.
Ответ: AB = 7,5. Проверка: 7,5/12 = 5/8, значит, найденные стороны дают то же отношение, что и отрезки BD и DC. Число может быть нецелым: в условии нет требования, чтобы длина выражалась целым числом.
Задача 3. В треугольнике ABC AD — биссектриса, BC = 21, AB = 4, AC = 3. Найдите BD и DC. Одной пропорции недостаточно, чтобы определить две неизвестные длины, поэтому используем два условия: отношение частей и их сумму. Сумма отрезков BD и DC равна всей стороне BC.
Ответ: BD = 12, DC = 9. Проверка: 12 + 9 = 21, а 12/9 = 4/3. Оба условия задачи выполнены.
Путают соответствующие отрезки. Иногда записывают BD к DC, но сравнивают их с AC к AB. Так происходит, если стороны выписывают не в порядке их прилегания к углу. Проверьте соответствия по вершине: части BD и DC стоят напротив сторон AB и AC соответственно, поэтому BD/DC = AB/AC.
Переворачивают только одну дробь. Запись BD/DC = AC/AB обычно появляется из-за невнимательности при переносе данных. Обе дроби можно одновременно перевернуть, но тогда равенство будет DC/BD = AC/AB. Для проверки умножьте крайние и средние члены или подставьте числа в исходную пропорцию.
Применяют свойство к любому отрезку из вершины. Сам факт, что отрезок проведён из A к BC, ещё не означает, что он делит угол A пополам. Ошибка возникает, когда обозначение биссектрисы принимают за необязательное условие. Перед составлением пропорции убедитесь, что равенство углов доказано или дано в условии.
Забывают, что BD + DC = BC. При поиске двух частей иногда находят только их отношение и пытаются получить отдельные длины без второго условия. Но отношение задаёт лишь соотношение, а не конкретный масштаб. Используйте длину всей стороны: составьте уравнение BD + DC = BC и проверьте, что найденные части в сумме дают BC.
Для понимания свойства понадобятся определение биссектрисы, умение решать пропорции и формула площади треугольника. Именно через сравнение площадей объясняется, почему отношение частей стороны совпадает с отношением прилежащих сторон. В дальнейшем свойство помогает решать задачи на отношения отрезков и сторон, а также доказывать геометрические утверждения. Поэтому полезно не только запомнить формулу, но и понимать, какие отрезки в ней соответствуют друг другу.
Как понять, какие отрезки нужно сравнивать в пропорции?
Сначала отметьте вершину угла, биссектриса которого проведена. Части противоположной стороны сравнивайте в том же порядке, что и прилежащие стороны: BD/DC = AB/AC.
Можно ли применить свойство, если отрезок проведён из вершины, но не является биссектрисой?
Нет, этого свойства недостаточно, чтобы составить такую пропорцию для любого отрезка. Нужно знать или доказать, что отрезок делит угол при вершине на два равных угла.
Как найти части стороны, если известна только их сумма и отношение?
Обозначьте части через x и выразите их согласно отношению, например как 4x и 3x. Приравняйте их сумму известной длине всей стороны и решите уравнение.
Почему биссектриса делит сторону пропорционально сторонам треугольника?
Треугольники по обе стороны биссектрисы имеют общую высоту к противоположной стороне, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований. С другой стороны, формула площади и равенство половин угла показывают, что отношение площадей равно отношению прилежащих сторон.
Работает ли это свойство для любой вершины треугольника?
Да. Для биссектрисы из другой вершины нужно заново обозначить части противоположной стороны и прилежащие к выбранному углу стороны. Их отношения записывают в соответствующем порядке.
3.5. Свойство биссектрисы треугольника
