10.3. Свойства подобных фигур

Определения и обозначения

Подобные фигуры — фигуры, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие линейные размеры пропорциональны. Иными словами, фигуры имеют одинаковую форму, хотя их размеры могут быть разными. Это понятие позволяет переносить известные свойства одной фигуры на другую и находить неизвестные элементы без измерения каждого из них.

Коэффициент подобия — отношение соответствующих линейных размеров двух подобных фигур. Если сравниваем вторую фигуру с первой, то k = длина второй / длина первой; при обратном порядке получится обратное отношение. Поэтому вместе с коэффициентом нужно указывать, в каком порядке рассматриваются фигуры: это помогает не перепутать, какая из них больше.

Соответствующие элементы — стороны, углы и другие элементы фигур, занимающие одинаковое положение при подобии. Например, если вершины фигур сопоставлены по порядку, то сторона между первой и второй вершинами одной фигуры соответствует стороне между такими же вершинами другой. Умение находить такие пары нужно, чтобы правильно составить отношение и не сравнивать случайные стороны.

Как это устроено

Подобие сохраняет форму фигуры, поэтому её углы не меняются: если бы соответствующие углы стали разными, изменились бы наклоны сторон и сама форма. Размер при этом может увеличиваться или уменьшаться, но одинаковым образом во всех направлениях. Поэтому соответствующие стороны пропорциональны: отношение каждой пары таких сторон имеет одно значение k. Именно это общее отношение и называют коэффициентом подобия.

Периметр — сумма длин всех сторон. Если каждую сторону подобной фигуры увеличить в k раз, то в k раз увеличится и каждое слагаемое в сумме, а значит, во столько же раз изменится весь периметр. Поэтому отношение периметров равно отношению соответствующих сторон. Рассуждение работает и при уменьшении: коэффициент тогда меньше единицы, и периметр уменьшается во столько же раз.

Площадь зависит не от одной длины, а от двух линейных измерений. Например, площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину: при увеличении каждой из них в k раз произведение становится в k · k = k² раз больше. У других подобных фигур действует тот же принцип: фигура растёт одновременно по двум направлениям, поэтому отношение площадей равно k². Например, при увеличении всех длин в 3 раза площадь увеличивается в 9 раз.

Эти соотношения можно использовать и в обратном направлении. Если известны периметры подобных фигур, их отношение сразу даёт коэффициент подобия, потому что периметры изменяются так же, как линейные размеры. Если известны площади, сначала составляют их отношение, а затем извлекают квадратный корень: S₂/S₁ = k², значит, k = √(S₂/S₁). Порядок в отношении площадей должен совпадать с порядком сравнения сторон.

Закономерность не ограничивается треугольниками. У подобных многоугольников соответствующие стороны пропорциональны, поэтому при сложении этих сторон для периметра сохраняется тот же множитель. При увеличении или уменьшении многоугольника каждая длина меняется в k раз, а площадь — в k² раз, поскольку изменяются оба измерения. Следовательно, отношения периметров и площадей можно применять к любым подобным многоугольникам, если правильно сопоставлены их элементы.

Как коэффициент подобия связывает элементы фигур

Сначала определите, какая фигура считается первой, а какая второй, и задайте коэффициент как отношение размеров второй к размерам первой. Затем выбирайте строку таблицы по нужному элементу: для периметров используйте k, для площадей — k². Если известны площади и требуется отношение длин, выполните обратное действие — извлеките квадратный корень.

Разбор задач

Задача 1

Две подобные фигуры имеют соответствующие стороны 4 см и 10 см. Требуется найти коэффициент подобия второй фигуры относительно первой. Слова «второй относительно первой» задают порядок: длину второй фигуры нужно разделить на длину первой. Сначала убедимся, что сравниваются именно соответствующие стороны.

1. Сторона первой фигуры равна 4 см, второй — 10 см.
2. Составляем отношение в указанном порядке: k = 10 : 4.
3. Вычисляем: k = 2,5; единицы измерения сокращаются, поэтому коэффициент безразмерный.

Ответ: коэффициент подобия второй фигуры относительно первой равен 2,5. Значит, её соответствующая сторона в 2,5 раза больше.

Задача 2

Подобные многоугольники имеют коэффициент подобия 3. Периметр меньшего равен 18 см, а его площадь — 12 см²; требуется найти периметр и площадь большего. Коэффициент показывает, что линейные размеры большего в три раза превышают размеры меньшего. Для периметра применяем множитель k, а для площади — k².

1. Периметр увеличивается в 3 раза: 18 · 3 = 54 см.
2. Площадь увеличивается в 3² = 9 раз.
3. Площадь большего многоугольника равна 12 · 9 = 108 см².

Ответ: периметр большего многоугольника равен 54 см, площадь — 108 см². Умножать площадь только на 3 было бы неверно: она зависит от двух линейных размеров.

Задача 3

Площади двух подобных фигур равны 49 см² и 121 см². Нужно найти отношение их соответствующих сторон и периметров. Сравним сначала первую фигуру со второй, то есть запишем площади как 49 : 121. Отношение сторон получим извлечением квадратного корня из отношения площадей.

1. Записываем отношение площадей: 49 : 121.
2. Извлекаем квадратный корень: √(49 : 121) = 7 : 11.
3. Для подобных фигур отношение периметров такое же, как отношение соответствующих сторон.

Ответ: отношение соответствующих сторон первой фигуры ко второй равно 7 : 11, и отношение их периметров также равно 7 : 11. Если сравнивать вторую фигуру с первой, оба отношения будут обратными — 11 : 7.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что площади относятся как коэффициент подобия, а не как его квадрат. Её допускают, перенося правило для периметра на площадь, хотя периметр складывается из длин, а площадь зависит от двух измерений. Проверка: если длины увеличены в 2 раза, прямоугольник с такими сторонами увеличит площадь в 2 · 2 = 4 раза.

Ошибка: перепутать порядок фигур в отношении. Например, разделить длину первой фигуры на длину второй, хотя требуется коэффициент второй относительно первой; так получают обратное число. Проверка: подпишите возле каждого числа, какой фигуре оно принадлежит, и проверьте, должна ли большая фигура давать коэффициент больше единицы.

Ошибка: находить коэффициент по несоответствующим сторонам. Даже у подобных фигур разные стороны могут иметь разную длину, поэтому случайное отношение не обязано совпасть с коэффициентом. Проверка: установите соответствие вершин и сторон по одинаковому положению, а затем сравните ещё одну пару — отношение должно быть тем же.

Ошибка: при переходе от отношения площадей к отношению сторон забыть извлечь квадратный корень. Так отношение площадей ошибочно принимают за линейный масштаб. Проверка: возведите найденное отношение сторон в квадрат и убедитесь, что получили исходное отношение площадей.

Связь с другими темами

Для работы с коэффициентом подобия нужны знания об отношениях и пропорциях: именно через них записывают связь соответствующих сторон. Также полезны признаки подобия треугольников, которые позволяют установить, что фигуры подобны, ещё до вычисления их размеров. Если соответствие элементов определено верно, пропорции дают возможность находить неизвестные длины.

Свойства подобия применяются в задачах на подобные треугольники, а также при вычислении недоступных расстояний и площадей. Например, можно определить размер объекта по его изображению или найти расстояние по измеренному отрезку и известному масштабу. При решении важно различать линейные величины и площади: для первых используют k, для вторых — k².

Что запомнить

• У подобных фигур соответствующие углы равны.
• Отношения соответствующих линейных размеров одинаковы.
• Периметры подобных фигур относятся как соответствующие стороны.
• Площади подобных фигур относятся как квадраты соответствующих сторон.
• Коэффициент подобия зависит от порядка сравнения фигур.
• По отношению площадей коэффициент подобия находят извлечением квадратного корня.