"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Теорема Фалеса связывает параллельные прямые и отрезки, которые они отсекают на сторонах угла. Если равные отрезки на одной стороне образованы параллельными прямыми, то соответствующие отрезки на другой стороне тоже равны. В общем случае такие отрезки пропорциональны: отношения соответствующих частей совпадают. Это позволяет находить неизвестные длины, делить отрезки на равные части и решать задачи на подобие треугольников.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема Фалеса утверждает: если параллельные прямые пересекают стороны угла и на одной стороне отсекают равные отрезки, то на другой стороне соответствующие отрезки тоже равны. Иными словами, одинаковые «шаги» по одной стороне угла дают одинаковые шаги по другой. Теорема нужна, чтобы переносить равенство отрезков с одной линии на другую.
Пропорциональные отрезки — это отрезки, отношения соответствующих пар которых равны. Например, если A₁A₂ / A₂A₃ = B₁B₂ / B₂B₃, то эти пары отрезков пропорциональны. Такое сравнение помогает находить длину неизвестного отрезка, даже когда равенства длин нет.
Теорема о пропорциональных отрезках говорит, что параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные соответствующие отрезки. Поэтому отношение двух частей на одной стороне равно отношению двух частей на другой стороне. Это более общий результат, чем равенство отрезков в теореме Фалеса.
Соответствующие отрезки — это отрезки, расположенные между одними и теми же параллельными прямыми на разных пересекающих их линиях. Так, A₁A₂ и B₁B₂ соответствуют друг другу, если оба заключены между первой и второй параллельными прямыми. Именно такие отрезки можно сравнивать в пропорции.
Представим угол с вершиной O и две его стороны, на которых отмечены точки A₁, A₂, A₃ и B₁, B₂, B₃. Через эти точки проходят параллельные прямые: первая пересекает стороны в A₁ и B₁, вторая — в A₂ и B₂, третья — в A₃ и B₃. Поэтому отрезки A₁A₂ и B₁B₂ образованы одной парой параллельных прямых, а A₂A₃ и B₂B₃ — следующей парой.
Почему равенство переносится на другую сторону? Две параллельные прямые, пересекающие стороны угла, образуют треугольники с общей вершиной O, а углы при пересечении равны из-за параллельности. Эти треугольники имеют одинаковую форму, поэтому увеличение расстояний от вершины происходит по одному и тому же масштабу. Если один шаг на первой стороне равен следующему шагу, то соответствующие шаги на второй стороне также равны.
Если отрезки на первой стороне не равны, равенство длин уже нельзя перенести напрямую. Однако тот же масштаб между сторонами сохраняется для каждого положения параллельных прямых, поэтому отношение первого отрезка ко второму на одной стороне совпадает с отношением соответствующих отрезков на другой. Так из случая равных частей получается общее правило пропорциональности.
Пропорцию записывают только для соответствующих отрезков и в одном порядке: A₁A₂ / A₂A₃ = B₁B₂ / B₂B₃. Чтобы определить соответствие, проследите, между какими двумя параллельными прямыми лежит каждый отрезок. Отрезки между первой и второй прямыми сравнивают с такими же отрезками, а не с частями, расположенными между второй и третьей.
| Рассматриваемая ситуация | Что дано | Что следует | Символическая запись |
|---|---|---|---|
| Теорема Фалеса | Несколько параллельных прямых пересекают стороны угла, а отрезки на одной стороне равны | Соответствующие отрезки на другой стороне также равны | A₁A₂ = A₂A₃ ⇒ B₁B₂ = B₂B₃ |
| Теорема о пропорциональных отрезках | Параллельные прямые пересекают стороны угла | Отношения соответствующих отрезков равны | A₁A₂ / A₂A₃ = B₁B₂ / B₂B₃ |
| Нахождение неизвестного отрезка | Известны три отрезка и параллельность прямых | Неизвестный отрезок находится из пропорции | a / b = c / x |
Таблица помогает выбрать нужную теорему по условию задачи. Сначала проверьте параллельность и сопоставьте отрезки по расположению, а затем выберите равенство или пропорцию. В последней строке неизвестный член находят основным свойством пропорции: a · x = b · c.
Параллельные прямые пересекают стороны угла, а на одной стороне два соседних отрезка имеют длины 4 см и 4 см. Требуется сравнить соответствующие отрезки на другой стороне. Здесь выполнено условие теоремы Фалеса: соседние отрезки на одной стороне равны.
Ответ: соответствующие отрезки на другой стороне равны. Их конкретную длину найти нельзя, потому что в условии она не указана.
Параллельные прямые пересекают стороны угла; даны OA₁ = 6 см, OA₂ = 10 см и OB₁ = 9 см. Нужно найти OB₂. Отрезки OA₁ и OA₂, а также OB₁ и OB₂ рассматриваются как соответствующие расстояния от вершины угла до параллельных прямых.
Ответ: OB₂ = 15 см. Проверка показывает, что отношение 6 : 10 равно отношению 9 : 15.
В треугольнике ABC точки D и E лежат соответственно на AB и AC, причём DE параллельно BC. Известны AD = 6 см, DB = 4 см и AE = 9 см; требуется найти EC. Параллельность DE и BC позволяет применить теорему о пропорциональных отрезках к сторонам угла A.
Ответ: EC = 6 см. Важно было сравнить именно части сторон, а не целые стороны AB и AC.
Сравнивают несоответствующие отрезки. Ошибка появляется, когда ученик смотрит только на названия точек и не учитывает порядок параллельных прямых. Проверьте, что оба сравниваемых отрезка лежат между одинаковыми парами параллельных линий.
Применяют теорему без проверки параллельности. Равенство или пропорциональность отрезков не следует из одного факта пересечения линий. Перед решением найдите в условии знак параллельности или обоснование того, что прямые параллельны.
Путают равенство с пропорциональностью. При равных частях можно использовать вывод теоремы Фалеса, но в общем случае длины соответствующих отрезков различаются. Проверьте, требуется ли доказать равенство или составить равенство отношений.
Смешивают целые стороны и их части. Например, в треугольнике с DE ∥ BC нельзя без объяснения записывать AD / AC = DB / EC. Сначала определите пары частей между одинаковыми параллельными прямыми и запишите пропорцию AD / DB = AE / EC.
Для применения теорем нужны признаки и свойства параллельных прямых, а также умение работать с пропорцией и её основным свойством. Без этих знаний трудно правильно определить соответствующие отрезки и найти неизвестный.
Теоремы Фалеса и о пропорциональных отрезках связаны с подобием треугольников: параллельные прямые создают треугольники одинаковой формы. Они также помогают делить отрезок на равные части.
В дальнейшем эти правила используются в геометрических построениях с помощью параллельных прямых и в задачах на масштаб. Один и тот же принцип объясняет, почему длины на увеличенном или уменьшенном изображении меняются пропорционально.
Чем теорема Фалеса отличается от теоремы о пропорциональных отрезках?
Теорема Фалеса рассматривает частный случай: если отрезки на одной стороне угла равны, то соответствующие отрезки на другой стороне также равны. Теорема о пропорциональных отрезках утверждает более общее правило: отношения соответствующих отрезков равны.
Какие отрезки называются соответствующими?
Это отрезки, расположенные между одними и теми же параллельными прямыми на разных линиях, пересекающих эти параллельные прямые. Например, A₁A₂ и B₁B₂ соответствуют друг другу, если оба отсекаются первой и второй параллельными прямыми.
Почему в пропорции нельзя менять местами только один из отрезков?
Каждая дробь сравнивает определённый отрезок с другим отрезком в установленном порядке. Если поменять местами только один отрезок, соответствие нарушится и получится другая пропорция. Менять местами можно числитель и знаменатель сразу в обеих дробях.
Можно ли применять теорему, если прямые не параллельны?
Нет, параллельность прямых — главное условие обеих теорем. Без неё соответствующие отрезки не обязаны быть равными или пропорциональными.
Как понять, какие стороны и отрезки нужно сравнивать в задаче?
Сначала найдите параллельные прямые и установите порядок их пересечения на каждой линии. Затем сопоставьте отрезки, заключённые между одинаковыми соседними параллельными прямыми, и только после этого составьте пропорцию.
§ 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках
