80. Теоремы об отрезках пересекающихся хорд и о квадрате касательной

Определения и обозначения

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Если хорды пересекаются, каждая из них делится общей точкой на две части. Именно эти части, а не любые соседние отрезки, участвуют в теореме.

Пересекающиеся хорды — две хорды одной окружности, имеющие общую внутреннюю точку. Например, хорды AB и CD могут пересекаться в точке E, тогда их части — AE, EB, CE и ED. Такое обозначение помогает правильно составить произведения.

Касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. От внешней точки до точки касания выделяют отрезок касательной, например PT. Его длину в теореме возводят в квадрат.

Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках. Если она выходит из внешней точки P и проходит через A и B, то PA — внешний отрезок, а PB — вся секущая. Такое различие необходимо для правильной записи формулы.

Как это устроено

Пусть хорды AB и CD пересекаются внутри окружности в точке E. Тогда выполняется равенство AE · EB = CE · ED. Перемножают части, принадлежащие одной хорде: сначала две части AB, затем две части CD.

Причину равенства можно увидеть через подобие треугольников AEC и DEB. Углы AEC и DEB равны как вертикальные, а углы ACE и DBE равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AD. Поэтому треугольники подобны, и из пропорции AE/DE = CE/BE после перемножения крест-накрест получается AE · BE = CE · DE.

Рассмотрим внешнюю точку P, касательную PT и секущую PAB, где A — ближайшая, а B — дальняя точка пересечения с окружностью. Теорема утверждает: PT² = PA · PB. Поэтому квадрат касательной связывается не с внутренней частью секущей, а с её внешней частью и всей длиной от P до B.

Обе теоремы имеют одинаковую идею: произведение длин отрезков, связанных с одной окружностью, сохраняет определённое равенство. В случае пересекающихся хорд точка пересечения находится внутри, а в случае касательной конфигурация расположена относительно внешней точки. Теорему о касательной можно обосновать подобием треугольников; по смыслу она продолжает правило о равных произведениях отрезков.

При решении сначала полезно назвать точки и выделить нужные части. Затем записывают формулу именно для данной конфигурации, подставляют известные длины и решают уравнение. Такой порядок защищает от подмены внешнего отрезка всей секущей или от перемножения частей разных хорд.

Равенства отрезков в двух теоремах об окружности

Сначала определите, к какой строке относится изображённая конфигурация. Затем найдите именно те отрезки, которые названы в третьем столбце, и запишите равенство буквами.

После этого можно подставлять числа и решать получившееся уравнение. Если в условии дана внутренняя часть секущей, сначала выразите через неё всю секущую как сумму внешней и внутренней частей.

Разбор задач

Задача 1

Две хорды пересекаются внутри окружности. Части одной хорды равны 3 и 4, а части другой — 2 и x. Требуется найти x.

1. Так как хорды пересекаются внутри окружности, используем теорему о произведениях частей хорд.
2. Записываем 3 · 4 = 2 · x, потому что 3 и 4 относятся к одной хорде, а 2 и x — к другой.
3. Получаем 12 = 2x и делим обе части равенства на 2: x = 6.

Ответ: x = 6.

Задача 2

Части одной пересекающейся хорды равны 5 и x, а части другой — 3 и 10. Нужно найти неизвестную часть первой хорды.

1. Перемножаем части каждой хорды: 5 · x = 3 · 10.
2. После вычисления правой части получаем 5x = 30.
3. Делим равенство на 5 и находим x = 6. Значение положительно, поэтому оно подходит как длина отрезка.

Ответ: x = 6.

Задача 3

Из внешней точки проведены касательная длиной 12 и секущая. Внешний отрезок секущей равен 8. Требуется найти всю секущую и её внутреннюю часть.

1. Обозначим всю секущую через L. По теореме о квадрате касательной записываем 12² = 8 · L.
2. Вычисляем квадрат касательной: 144 = 8L, поэтому L = 18.
3. Внутренняя часть равна всей секущей минус внешняя: 18 − 8 = 10.

Ответ: вся секущая равна 18, её внутренняя часть равна 10.

Типичные ошибки

Первая ошибка — перемножать части, лежащие на разных хордах. Так бывает, если смотреть только на близость отрезков, а не на принадлежность одной хорде. Проверьте, что каждый множитель первой пары лежит на одной хорде, а каждый множитель второй пары — на другой.

Вторая ошибка — умножать внешний отрезок секущей на её внутреннюю часть. В формуле должно быть PA · PB, где PB — вся секущая от внешней точки до дальней точки окружности. Полезно отметить на чертеже оба конца секущей и проверить, какой отрезок включает другой.

Третья ошибка — приравнять длину касательной её квадрату или забыть возведение в квадрат. В теореме участвует PT², поэтому при длине 12 появляется число 144. После решения оцените размер результата: квадрат касательной не может быть заменён самой длиной без изменения формулы.

Четвёртая ошибка — применить теорему к неподходящей конфигурации. Хорды должны принадлежать одной окружности и пересекаться внутри, а касательная должна иметь одну общую точку с окружностью. Перед вычислениями проверьте расположение всех точек и отрезков.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны свойства хорд, касательной и секущей, а также умение складывать длины отрезков и решать простые уравнения. Эти навыки превращают геометрическое условие в вычислительную задачу.

Равенства произведений связаны с подобием треугольников: равные углы дают пропорцию соответствующих сторон, из которой получается формула. Теоремы применяются при решении задач на окружность, построении вспомогательных отрезков и нахождении неизвестных длин.

Что запомнить

• У пересекающихся внутри окружности хорд произведения частей равны.
• В теореме о хордах перемножаются части, принадлежащие одной хорде.
• Квадрат длины касательной равен произведению внешнего отрезка секущей на всю секущую.
• Вся секущая состоит из внешнего и внутреннего отрезков.
• Перед применением теоремы проверьте, что все рассматриваемые отрезки относятся к одной окружности.
• Сначала обозначьте отрезки и запишите равенство, затем подставляйте известные длины.