"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Пропорциональные отрезки — это отрезки, отношения длин которых равны. С их помощью строят четвёртый пропорциональный, делят отрезок в заданном отношении и находят среднее пропорциональное. Основной приём основан на проведении параллельных прямых: они образуют подобные треугольники и поэтому отсекают на сторонах угла отрезки в одинаковом отношении.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пропорциональные отрезки — это отрезки, отношения длин которых равны. Запись a:b = c:d означает, что отношение длины a к длине b такое же, как отношение длины c к длине d. Это позволяет заменять одну пару отрезков другой и выполнять геометрические построения по известной пропорции.
Четвёртый пропорциональный — отрезок x, для которого a:b = c:x. Если длины a, b и c известны, то x = bc/a при a ≠ 0. Такое построение нужно, когда три отрезка заданы, а четвёртый требуется получить без измерения линейкой.
Разделить отрезок в данном отношении — значит найти на нём точку, чтобы образовавшиеся части относились, например, как m:n. Отношение задаёт не конкретные размеры частей, а их доли от всего отрезка. Поэтому удобно сначала заменить числа m и n равными единицами на вспомогательном луче.
Среднее пропорциональное — отрезок x, удовлетворяющий равенству a:x = x:b. После перемножения крайних и средних членов получаем x² = ab, поэтому длина x равна √(ab). Геометрически это построение позволяет получить отрезок, длина которого является геометрическим средним длин a и b.
Построение начинают с двух лучей, имеющих общее начало. На одном луче откладывают отрезки, соответствующие известным членам пропорции, а на другом размещают отрезок, который нужно разделить или использовать для получения неизвестного. Такая схема превращает отношения длин в отношения сторон треугольников.
Параллельную прямую строят с помощью линейки и циркуля: сначала можно построить равный угол, а затем перенести его к нужной точке. Полученная прямая пересекает второй луч и отсекает на нём искомый отрезок. Параллельность здесь нужна не для удобства чертежа, а для сохранения одного и того же угла в двух треугольниках.
Почему метод работает? Параллельные прямые дают равные соответственные углы, а углы при общем начале лучей совпадают. Значит, образованные треугольники подобны, и их соответственные стороны пропорциональны. Именно из этой пропорции получается требуемое равенство отношений.
Четвёртый пропорциональный строят для a:b = c:x так: на одном луче откладывают последовательно a и c, а на другом — b. Соединяют конец a с концом b, после чего через конец c проводят параллельную соединяющей прямой. Точка пересечения этой параллели со вторым лучом задаёт отрезок x, потому что соответствующие стороны подобных треугольников относятся как a:b и c:x.
Для деления отрезка в отношении m:n на вспомогательном луче откладывают m+n равных частей. Последнюю отметку соединяют с концом исходного отрезка, а через отметку m проводят параллель. Теорема о пропорциональных отрезках показывает, что части исходного отрезка относятся как число частей до отметки и число оставшихся частей, то есть как m:n.
Таблица помогает выбрать конструкцию по условию задачи. В последнем столбце указана главная причина, благодаря которой построение даёт правильный результат.
| Что требуется построить | Исходные данные | Основной приём | Почему результат верен |
|---|---|---|---|
| Четвёртый пропорциональный | a, b, c и пропорция a:b = c:x | Два луча и параллельная прямая через конец c | Подобие треугольников даёт a:b = c:x |
| Разделение отрезка в заданном отношении | Отрезок AB и отношение m:n | m+n равных частей на вспомогательном луче и параллель через отметку m | Параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки |
| Среднее пропорциональное | Отрезки a и b | Прямоугольный треугольник с высотой к гипотенузе | Свойство высоты: x² = ab |
Пусть дан отрезок AB, который нужно разделить точкой X так, чтобы AX:XB = 3:5. Числа 3 и 5 показывают, на сколько равных условных долей нужно разделить весь отрезок. Поэтому на вспомогательном луче потребуется восемь частей.
Из подобия треугольников следует AX:AB = 3:8, а оставшаяся часть XB соответствует пяти долям. Ответ: точка X делит AB в отношении AX:XB = 3:5.
Даны отрезки a, b и c, требуется построить x из пропорции a:b = c:x. Нужно расположить отрезки так, чтобы параллельная прямая сравнивала именно пары a и b, c и x. Тогда соответствие членов пропорции не перепутается.
Подобие треугольников даёт отношение a:b = c:x. Ответ: построенный отрезок является четвёртым пропорциональным и имеет длину x = bc/a.
Для отрезков a и b нужно построить x, чтобы a:x = x:b. Удобно использовать свойство высоты, проведённой из прямого угла к гипотенузе: она является средним пропорциональным между отрезками гипотенузы. Поэтому сначала создают гипотенузу, разделённую на части a и b.
Треугольник ADB прямоугольный, а высота к гипотенузе равна x. Поэтому x² = AC · CB = ab. Ответ: AD-подобная высота даёт среднее пропорциональное x = √(ab).
Неверно размещают отрезки на лучах и получают другую пропорцию. Это происходит, когда начинают чертить без записи соответствия членов. Проверьте, что пары a и b, c и x стоят в пропорции именно в нужном порядке.
Проводят через нужную точку прямую, которая не параллельна соединяющей. Тогда треугольники могут не быть подобными, и равенство отношений ничем не подтверждается. Проверьте параллельность по равенству соответствующих углов или правильному построению.
При отношении m:n откладывают m+n−1 частей вместо m+n. Так теряется одна доля всего отрезка, и точка оказывается не там, где нужно. Сосчитайте все промежутки от начала луча до последней отметки.
Путают порядок частей и получают n:m вместо m:n. Ошибку допускают, когда проводят параллель через отметку, не сопоставив её с первой частью отношения. После построения назовите части от нужного конца и сравните их с m и n.
Для построений нужны базовые навыки работы с циркулем и линейкой: перенос отрезка, построение угла и проведение параллельной прямой. Также используется подобие треугольников, поэтому полезно уметь находить соответствующие стороны и записывать пропорции.
Эти конструкции встречаются в задачах на подобие, масштабирование и деление отрезков. Построение среднего пропорционального связывает геометрические построения с теоремой о высоте прямоугольного треугольника.
Почему построение четвёртого пропорционального даёт именно нужный отрезок?
Параллельная прямая образует два подобных треугольника. Из их подобия следует равенство соответствующих отношений, поэтому получается a:b = c:x.
Сколько равных частей нужно отложить на вспомогательном луче при делении отрезка в отношении 2:7?
Нужно отложить 2 + 7 = 9 равных частей. Через отметку, соответствующую двум частям, проводят параллельную прямую.
Как выбрать, на каком луче откладывать каждый из данных отрезков?
Сначала запишите пропорцию и сопоставьте её члены. Затем на одном луче откладывайте отрезки, стоящие в одной паре отношения, а на другом — отрезки из другой пары.
Можно ли построить четвёртый пропорциональный, если один из данных отрезков равен нулю?
Обычное построение предполагает ненулевые отрезки, потому что отношение с нулевым знаменателем не определено. При нулевом числителе возможны отдельные вырожденные случаи, но они не относятся к стандартной конструкции.
Чем среднее пропорциональное отличается от четвёртого пропорционального?
В четвёртом пропорциональном неизвестный отрезок занимает последний член пропорции: a:b = c:x. В среднем пропорциональном один и тот же отрезок стоит в обоих средних членах: a:x = x:b, поэтому x² = ab.
81. Построение пропорциональных отрезков
