82. Метод подобия

Определения и обозначения

Метод подобия — способ решения задачи, при котором рассматривают фигуру, подобную данной и более удобную для вычислений или построения. Например, вместо большого участка можно изучать его план или схему с теми же углами. Метод нужен, когда исходный объект трудно измерить целиком или с ним неудобно выполнять построения. По известным размерам удобной фигуры затем находят неизвестные размеры исходной.

Подобные фигуры — фигуры, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Это значит, что форма сохраняется, хотя размеры могут быть другими. Например, увеличенная копия треугольника подобна исходному, если все углы совпадают, а стороны увеличены в одинаковое число раз. Определение помогает отличить подобие от простого внешнего сходства.

Коэффициент подобия — отношение соответствующих сторон одной фигуры к другой; он показывает, во сколько раз изменились размеры. Если сторону большей фигуры разделить на соответствующую сторону меньшей, получится коэффициент увеличения. При обратном порядке деления выйдет обратное число. Коэффициент нужен, чтобы переносить известные длины на другую фигуру и составлять пропорции.

Соответствующие элементы — стороны, углы и другие части фигур, занимающие одинаковое положение при сопоставлении фигур. Так, если вершина A сопоставлена вершине A′, а B — B′, то стороны AB и A′B′ являются соответствующими. Такое сопоставление показывает, какие углы надо сравнить и какие длины можно включить в одну пропорцию. Без него вычисления могут связать элементы, между которыми подобие не устанавливает нужного отношения.

Как это устроено

Сначала выясняют, какие элементы искомой фигуры уже известны, а какие нужно найти. Это помогает понять, какую именно связь следует получить и какие данные пригодятся в вычислении. Если искомое — длина стороны, нужно искать соответствующую сторону в подобной фигуре и известную пару длин. Если требуется построение, сначала определяют, какие углы и размеры можно перенести без изменений или через коэффициент.

Затем подбирают подобную конфигурацию, с которой проще работать. Сложное условие может содержать недоступные точки, большие расстояния или неудобно расположенные отрезки, но в подобной фигуре сохраняются углы и соотношения длин. Поэтому её можно построить на бумаге или измерить на местности, не теряя нужной геометрической связи. Простота фигуры облегчает работу, а подобие гарантирует, что найденное отношение будет относиться и к исходной задаче.

До составления пропорций устанавливают, какие вершины и стороны соответствуют друг другу. Причина в том, что равенство отношений относится только к соответствующим сторонам, а не к любым двум сторонам из разных фигур. Сопоставление вершин можно выполнить по равным углам и порядку их расположения. После этого пары сторон читаются однозначно, и записи вроде AB / A′B′ и BC / B′C′ действительно связаны подобием.

Из подобия получают соотношение между неизвестной и известными величинами. Если, например, длины двух соответствующих сторон равны a и b, а другая пара — x и c, то можно записать a / b = x / c, соблюдая один и тот же порядок фигур. Далее решают пропорцию, перемножая крайние и средние члены, либо находят коэффициент подобия и применяют его к нужной стороне. Так геометрическая связь превращается в вычисление.

Найденное число проверяют по условию и оценивают по смыслу. Если речь об увеличенной фигуре, соответствующая сторона должна быть больше, а при уменьшении — меньше; результат не должен противоречить известным размерам. Также полезно подставить ответ в исходную пропорцию и проверить равенство отношений. Такая проверка позволяет заметить неверное соответствие сторон, ошибку в вычислениях или неподходящие единицы.

Как применять метод подобия

Таблица помогает пройти путь от выбора удобных фигур до вычисления неизвестной длины. Заполняйте её по порядку: сначала опишите данные, затем зафиксируйте соответствия, и только после этого записывайте углы и отношения сторон. Если на одном из этапов соответствие не удаётся обосновать, пропорцию пока составлять рано.

Разбор задач

Задача 1. В двух подобных треугольниках соответствующие стороны равны 3 см и 6 см, а другая сторона меньшего треугольника равна 4 см. Найдите соответствующую сторону большего треугольника. Сначала определим, во сколько раз большая сторона длиннее меньшей. Затем применим тот же коэффициент к другой паре соответствующих сторон.

1. Коэффициент увеличения равен 6 / 3 = 2.
2. Искомая сторона большего треугольника равна 4 · 2 = 8 см.
3. Проверка: обе известные пары относятся как 1 : 2, значит и для искомой пары должен сохраняться тот же масштаб.

Ответ: 8 см.

Задача 2. На плане прямоугольного участка со сторонами 5 см и 8 см масштаб задаёт подобие плана и участка. Стороне 5 см на плане соответствует 20 м на местности; найдите длину участка, соответствующую стороне 8 см. Здесь важно сопоставить именно длины плана с отвечающими им длинами участка и не смешать сантиметры с метрами. Переведём 20 м в 2000 см и используем единый масштаб.

1. На местности 5 см плана соответствуют 20 м, значит масштаб длины равен 20 / 5 = 4 м на каждый сантиметр плана.
2. Стороне 8 см соответствует 8 · 4 = 32 м.
3. Проверка: 8 см больше 5 см, поэтому соответствующая сторона участка должна быть больше 20 м; 32 м этому условию удовлетворяет.

Ответ: 32 м.

Задача 3. Из-за препятствия нельзя измерить ширину реки напрямую. Нужно предложить схему, в которой ширину можно найти по доступным расстояниям на берегу. Удобно построить на одном берегу прямоугольный треугольник, равный по углам треугольнику, одна сторона которого задаёт ширину реки. Тогда измерения выполняются там, где можно безопасно подойти и поставить отметки.

1. Обозначим точку A на ближнем берегу напротив выбранной точки B на дальнем берегу; AB — искомая ширина.
2. На доступном участке берега выберем точки C и D и построим отрезки так, чтобы треугольник ACD имел углы, равные соответствующим углам треугольника, содержащего AB. Например, параллельность сторон может обеспечить равенство углов.
3. Измерим доступные стороны и установим соответствие вершин. Для подобных треугольников запишем отношение AB к известной стороне равным отношению соответствующих измеренных сторон, затем найдём AB.

Ответ: ширину реки находят из пропорции соответствующих сторон построенных подобных треугольников. Для численного ответа нужны конкретные измерения на берегу.

Типичные ошибки

Ошибка — составлять пропорцию по сторонам, которые не соответствуют друг другу. Её часто допускают, когда выбирают длины только по величине или по близости на рисунке, не проследив за вершинами. Проверка: подпишите пары соответствующих вершин и убедитесь, что каждая сравниваемая сторона соединяет нужную пару.

Ошибка — переворачивать отношение в коэффициенте подобия. Это происходит, если не сказать заранее, какую фигуру делят на какую, и затем применить коэффициент как увеличение вместо уменьшения. Проверка: подставьте известную пару сторон и убедитесь, что коэффициент действительно показывает переход от выбранной первой фигуры ко второй.

Ошибка — считать фигуры подобными только потому, что они выглядят одинаково. Рисунок может быть неточным, поэтому зрительное впечатление не доказывает равенство углов и пропорциональность сторон. Проверка: укажите признак подобия или подтвердите требуемые равенства и отношения данными условия.

Ошибка — подставлять в пропорцию величины в разных единицах, например сантиметры и метры. Так можно получить неверный масштаб, хотя само отношение записано правильно. Перед вычислением переведите все длины в одну единицу, а после ответа проверьте, что единица измерения соответствует вопросу.

Связь с другими темами

Для метода подобия нужны знания о признаках подобия треугольников: они помогают обосновать, что выбранные фигуры действительно подобны. Свойства пропорций позволяют находить неизвестную сторону, а умение сопоставлять элементы помогает не перепутать пары. Поэтому перед решением полезно повторить, как равные углы и пропорциональные стороны связаны между собой.

Метод применяют в задачах на масштаб, геометрические построения и измерение расстояний, до которых нельзя добраться напрямую. На плане соответствие сторон переводит длину на бумаге в длину на местности. При измерениях на берегу подобные треугольники позволяют заменить недоступный отрезок отношениями доступных расстояний.

Что запомнить

• Метод подобия помогает заменить задачу более удобной конфигурацией.
• Сначала устанавливают соответствие элементов фигур, затем записывают пропорции.
• У подобных фигур соответствующие углы равны.
• Отношения соответствующих сторон подобных фигур одинаковы.
• Коэффициент подобия связывает длины соответствующих сторон.
• Перед вычислениями нужно привести величины к одинаковым единицам.