"Геометрия. 7-9 класс", Волович М.Б., Атанасян Л.С.
Подобные фигуры имеют одинаковую форму, хотя их размеры могут быть разными: все соответствующие длины отличаются в одно и то же число раз, а углы совпадают. Это понятие помогает сравнивать фигуры, находить неизвестные стороны и решать задачи с масштабом. Главное — правильно определить соответствующие элементы и не перепутать порядок, в котором сравниваются длины. Коэффициент подобия показывает, во сколько раз изменились линейные размеры.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные фигуры — фигуры одинаковой формы, у которых соответствующие размеры отличаются в одном и том же отношении. Например, увеличенная фотография сохраняет очертания исходной, хотя её стороны становятся длиннее. Это понятие позволяет сравнивать форму фигур, не требуя, чтобы они были одинакового размера.
Соответствующие элементы — точки, стороны и углы, занимающие одинаковое положение в сравниваемых фигурах. У треугольников вершины обычно сопоставляют по порядку записи или по равным углам, а соответствующими сторонами считают стороны между парными вершинами. Такое сопоставление нужно, чтобы сравнивать именно подходящие друг другу длины и углы.
Коэффициент подобия — отношение длин двух соответствующих отрезков. Если сравнивают вторую фигуру с первой, длину стороны второй делят на длину соответствующей стороны первой. Полученное число показывает, во сколько раз изменились линейные размеры: при коэффициенте больше 1 фигура увеличена, а при значении меньше 1 — уменьшена.
Подобные треугольники — треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Пропорциональность означает, что отношения пар соответствующих сторон одинаковы. Эти условия показывают, что треугольники сохраняют одну форму, даже если их размеры различны.
Представьте квадрат со стороной 3 см и квадрат со стороной 6 см. Каждый отрезок второго квадрата вдвое длиннее соответствующего отрезка первого, а углы у обоих квадратов прямые. Форма не меняется, потому что все линейные размеры увеличены одним и тем же числом; если бы одну сторону растянули иначе, квадрат превратился бы в прямоугольник.
Чтобы найти коэффициент подобия, сначала устанавливают соответствие, а затем делят длины в выбранном порядке. Пусть сторона первой фигуры равна 4 см, а соответствующая сторона второй — 6 см: при сравнении второй с первой получаем 6 : 4 = 1,5. Для подобия такой же результат должен получаться и при сравнении других соответствующих сторон, иначе фигуры изменены не в одном масштабе.
Коэффициент подсказывает, какая фигура больше по линейным размерам, но только если известно направление сравнения. Если k = 1,5 для второй фигуры относительно первой, её соответствующие стороны в 1,5 раза длиннее. Если k = 0,5, стороны второй фигуры составляют половину сторон первой. Обратный порядок деления даст обратное число, поэтому полезно каждый раз уточнять, какую фигуру сравнивают с какой.
Равные фигуры имеют одинаковые размеры и форму, поэтому при наложении их можно совместить. Подобные фигуры могут быть разных размеров, но соотношение длин у них одинаково; равные фигуры при этом можно рассматривать как подобные с коэффициентом 1. Различие важно в задачах: для равных фигур длины совпадают, а для подобных их сначала нужно связать коэффициентом.
У подобных треугольников равные соответствующие углы означают, что их форма одинакова: стороны направлены под теми же углами друг к другу. Пропорциональность сторон подтверждает, что все размеры изменились одинаково, а не растянулись по-разному. Поэтому, например, стороны 4, 6 и 8 см могут соответствовать сторонам 6, 9 и 12 см: каждую длину умножили на 1,5.
| Признак | Равные фигуры | Подобные фигуры |
|---|---|---|
| Форма | Одинаковая | Одинаковая |
| Размеры | Одинаковые | Могут различаться |
| Соответствующие углы | Равны | Равны |
| Отношение соответствующих длин | Равно 1 | Одинаково для всех пар сторон |
| Коэффициент подобия | 1 | Положительное число |
Пользуйтесь таблицей, чтобы сначала определить, сравниваете ли вы только размеры или ещё и форму. Для подобия проверьте равенство соответствующих углов и одинаковые отношения соответствующих длин. Если коэффициент равен 1, размеры совпадают и фигуры равны по форме и размерам.
Задача 1. Стороны двух подобных треугольников относятся как 3 к 5. Найдите сторону второго треугольника, соответствующую стороне первого длиной 6 см. Здесь первое число относится к стороне первого треугольника, а второе — второго, поэтому нужно увеличить известную сторону в 5/3 раза.
Ответ: 10 см.
Задача 2. У двух треугольников соответственно равны углы; стороны одного равны 4 см, 6 см и 8 см, другого — 6 см, 9 см и 12 см. Нужно выяснить, подобны ли они. Начинаем с соответствия сторон, указанного в условии, и проверяем, один ли множитель переводит все длины первого треугольника во второй.
Ответ: треугольники подобны.
Задача 3. Периметр одного из двух подобных многоугольников равен 24 см, коэффициент подобия второго к первому равен 1,5. Найдите периметр второго. Периметр — сумма длин сторон, а каждая соответствующая сторона второго многоугольника в 1,5 раза длиннее стороны первого.
Ответ: 36 см.
Сравнивают стороны, которые не соответствуют друг другу. Так происходит, если выбирать их только по длине или внешнему виду, не сопоставив вершины. Проверяйте, что стороны соединяют парные вершины, или используйте равные углы и порядок записи треугольников.
Считают любые фигуры с равными углами подобными. Равенство углов само по себе не гарантирует пропорциональность сторон у многоугольников, поэтому фигуры могут быть вытянуты по-разному. Для проверки сравните отношения всех соответствующих длин; для треугольников равенство соответствующих углов задаёт подобие.
Путают коэффициент с обратным отношением. Причина обычно в том, что не указано, какую фигуру сравнивают с другой: отношение второй к первой и первой ко второй — взаимно обратные числа. Перед вычислением подпишите порядок, а после проверьте, должен ли результат быть больше или меньше 1.
Умножают площадь на коэффициент подобия, как периметр. Это происходит потому, что площадь тоже описывает размер фигуры, но она зависит от двух линейных измерений. Проверьте, что для площадей используют квадрат коэффициента: при изменении сторон в k раз площадь меняется в k² раз.
Для работы с подобием пригодятся отношения отрезков и пропорции: именно с их помощью находят коэффициент и неизвестные длины. Также нужно распознавать равные углы, чтобы правильно сопоставлять элементы фигур. Позже подобие станет основой признаков подобия треугольников и поможет решать задачи на недоступные расстояния: вместо прямого измерения используют масштаб и пропорции.
Чем подобные фигуры отличаются от равных?
У равных фигур совпадают и форма, и размеры: одну можно совместить с другой. Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но могут отличаться масштабом. Поэтому равные фигуры являются частным случаем подобных с коэффициентом 1.
Как определить коэффициент подобия?
Нужно выбрать пару соответствующих отрезков и разделить длину того, к которому направлено сравнение, на длину второго. Например, если сравниваем вторую фигуру с первой, делим длину стороны второй на соответствующую сторону первой. Для подобных фигур такое отношение будет одинаковым для всех соответствующих сторон.
Как установить, какие стороны фигур соответствуют друг другу?
Сначала сопоставьте вершины по порядку записи или по равным углам. Затем сторонам, соединяющим соответствующие вершины, назначьте пары. Проверьте, что выбранные пары согласуются по всей фигуре, а не только для одной стороны.
Достаточно ли равенства углов, чтобы фигуры были подобными?
Для треугольников равенство соответствующих углов означает подобие: стороны таких треугольников пропорциональны. Для многоугольников одного равенства углов недостаточно, нужно также проверить пропорциональность соответствующих сторон. Поэтому всегда учитывают и форму, и соотношение длин.
Как изменяются периметр и площадь при увеличении фигуры?
Если линейные размеры увеличиваются в k раз, то периметр увеличивается в k раз. Площадь увеличивается в k² раз, потому что при изменении масштаба в двух направлениях множитель применяется дважды. Например, при увеличении сторон в 2 раза площадь вырастает в 4 раза.
§ 25. Понятие о подобии
