§ 16. Движение. Равенство фигур

Определения и обозначения

Движение — преобразование плоскости, при котором расстояние между любыми двумя точками сохраняется. Иными словами, если A переходит в A′, а B — в B′, то AB = A′B′. Это свойство позволяет проверять, изменились ли размеры фигуры, и отличать движение от других преобразований.

Образ точки — точка, в которую переходит данная точка при движении. Если точка A переходит в A′, то A′ называют образом A и записывают это как соответствие A → A′. У каждой исходной точки есть единственный образ, поэтому нельзя, чтобы одна точка при одном и том же движении переходила сразу в разные точки; это нужно для однозначного сравнения фигур.

Равные фигуры — фигуры, одну из которых можно совместить с другой движением. Совместить означает расположить их так, чтобы все точки первой фигуры совпали с соответствующими точками второй. Это определение помогает понять, что равенство фигур не зависит от того, как они нарисованы на листе.

Соответствующие точки — исходная точка и её образ при движении. Например, если вершина A переходит в A′, то A и A′ — соответствующие точки. При сравнении фигур важно установить такие пары заранее: тогда можно верно назвать соответствующие стороны и углы.

Как это устроено

Главное свойство движения заложено в его определении: расстояние между любой парой точек не меняется. Отрезок как раз соединяет две точки, а его длина равна расстоянию между ними. Поэтому, если концы отрезка A и B перешли в A′ и B′, длина нового отрезка A′B′ будет равна AB. Это верно для любой пары точек фигуры, а не только для её вершин.

Угол тоже сохраняется, потому что его величина связана с взаимным расположением двух лучей, выходящих из одной точки. Можно взять на каждом луче по точке на одинаковом расстоянии от вершины: после движения эти расстояния и расстояние между выбранными точками останутся прежними. Значит, положение лучей относительно друг друга не изменится, а вместе с ним не изменится и угол. Поэтому у фигуры сохраняются не только длины отрезков, но и углы.

Если точки фигуры перемещаются, меняются координаты и положение фигуры на плоскости. Однако расстояния между всеми её точками остаются прежними, так что её части не растягиваются и не сжимаются. Углы также сохраняются, поэтому фигура не становится другой формы. Так движение может перенести или повернуть фигуру, но не изменить её размеры и очертания.

Равенство фигур означает, что существует движение, которое переводит одну фигуру в другую. Когда фигуры совмещены, каждой точке первой отвечает точка второй, совпадающая с ней в новом положении. Например, вершина A может совпасть с A′, а вершины B и C — соответственно с B′ и C′. Такое соответствие позволяет сравнивать не произвольные элементы, а именно те, которые переходят друг в друга.

Чтобы проверить равенство фигур, сначала укажи, какая точка одной фигуры должна перейти в каждую точку другой. Затем выясни, может ли одно движение перевести всю первую фигуру во вторую, а не только отдельные её вершины или стороны. Если при таком преобразовании совпадают все соответствующие точки, фигуры равны. Сохранение расстояний и углов помогает проверить, согласуется ли выбранное соответствие с движением, но равенство отдельных элементов само по себе ещё не доказывает возможность совмещения.

Что сохраняет движение и что означает равенство фигур

Сначала найди в таблице понятие, которое нужно применить, а затем прочитай вывод в последнем столбце. Например, для сравнения отрезков достаточно знать, что их концы переходят друг в друга при движении. При проверке равенства фигур важно также убедиться, что соответствие задано для всей фигуры.

Разбор задач

Задача 1

При движении точка A переходит в A′, а точка B — в B′. Известно, что AB = 7 см, нужно найти A′B′. Здесь важно заметить, что концы исходного отрезка перешли в концы нового отрезка.

1. Обозначим отрезок AB и его образ A′B′. Движение переводит обе точки, поэтому к этой паре отрезков применимо свойство сохранения расстояния.
2. По определению движения расстояние между A и B равно расстоянию между их образами. Записываем: AB = A′B′.
3. Подставляем известное значение AB = 7 см. Получаем A′B′ = 7 см.

Ответ: 7 см. Длина не зависит от того, где оказался отрезок после движения.

Задача 2

Треугольник ABC движением переводится в треугольник A′B′C′. Нужно указать соответствующие стороны и углы и объяснить, почему они равны. Порядок записи вершин задаёт соответствие: A переходит в A′, B — в B′, C — в C′.

1. Сопоставляем вершины по порядку. Тогда сторона AB переходит в A′B′, BC — в B′C′, а CA — в C′A′.
2. Движение сохраняет расстояния между точками, значит, длины соответствующих сторон равны: AB = A′B′, BC = B′C′, CA = C′A′.
3. Углам соответствуют углы при сопоставленных вершинах: ∠A и ∠A′, ∠B и ∠B′, ∠C и ∠C′. Углы сохраняются при движении, следовательно, каждая такая пара углов равна.

Ответ: равны три пары соответствующих сторон и три пары соответствующих углов. Равенство следует из того, что треугольники связаны движением.

Задача 3

Докажите, что два данных треугольника равны, если движением вершины A, B и C первого треугольника переходят соответственно в вершины A′, B′ и C′ второго. Нужно доказать не только совпадение вершин, но и переход всего треугольника.

1. По условию движение переводит A в A′, B в B′, C в C′. Значит, оно переводит отрезки AB, BC и CA в A′B′, B′C′ и C′A′ соответственно.
2. Любая точка стороны переходит в точку соответствующей стороны, потому что движение сохраняет расстояния и переводит концы отрезка в концы его образа. Следовательно, стороны первого треугольника переходят в стороны второго.
3. Треугольник состоит из трёх вершин и соединяющих их сторон. Если движение переводит все эти части в соответствующие части второго треугольника, оно переводит во второй треугольник всю фигуру.

Ответ: треугольники равны по определению: первый можно совместить со вторым движением. При совмещении вершины и все соответствующие точки сторон совпадают.

Типичные ошибки

Считать равными только одинаково расположенные фигуры. Так думают, если сравнивают лишь рисунки в одном положении. Но движение может переместить или повернуть фигуру, не меняя её. Проверь себя: можно ли совместить фигуры перемещением или поворотом, даже если сейчас они выглядят по-разному расположенными?

Путать движение с любым преобразованием. Ошибка возникает, когда достаточно того, что фигура куда-то перешла. При растяжении расстояния меняются, поэтому такое преобразование не является движением. Проверь каждую пару точек: расстояние между их образами должно совпадать с исходным.

Называть точки соответствующими без указания перехода. Тогда легко перепутать, например, стороны AB и A′C′. Чтобы этого избежать, записывай пары точек: A → A′, B → B′, C → C′. После этого соответствующие стороны получаются из тех же пар вершин.

Доказывать равенство фигур только по отдельным равным сторонам или углам. Такие данные не объясняют сами по себе, можно ли совместить целые фигуры движением. Ошибку допускают, когда забывают проверить соответствие всех частей. Для самопроверки установи пары точек и обоснуй, что движение переводит всю первую фигуру во вторую.

Связь с другими темами

Для изучения движения нужны понятия точки, отрезка и расстояния между точками. Также необходимо знать, что такое угол и многоугольник, поскольку нужно сравнивать их элементы и целые фигуры. Эти основы позволяют формулировать, что именно сохраняется при преобразовании.

Тема связана с признаками равенства треугольников: они помогают обосновать, что треугольники совпадают по форме и размерам. Понятие движения даёт общий взгляд на равенство фигур — через возможность совместить их. Оно также понадобится при изучении симметрии и других преобразований плоскости.

Что запомнить

• Движение сохраняет расстояние между любыми двумя точками.
• При движении длина отрезка не меняется.
• Движение сохраняет форму и размеры фигуры.
• Положение фигуры при движении может измениться.
• Равные фигуры можно совместить движением.
• Соответствующие точки при совмещении совпадают.