§ 15. Примеры геометрических преобразований

Определения и обозначения

Геометрическое преобразование — соответствие, которое каждой точке плоскости ставит в соответствие другую точку. Исходная фигура при этом переходит в новую фигуру, называемую её образом. Такое понятие нужно, чтобы описывать отражение, поворот или другое изменение положения фигур точными правилами.

Образ фигуры — множество точек, полученное преобразованием всех точек исходной фигуры. Если точка A переходит в точку A′, запись A′ читают «образ точки A». По образам отдельных точек можно понять, куда переместилась вся фигура.

Осевая симметрия — преобразование относительно прямой, при котором эта прямая служит серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точку и её образ. Образ точки оказывается по другую сторону оси на таком же расстоянии. Это определение помогает строить симметричные точки без угадывания.

Центральная симметрия — преобразование относительно точки, которая является серединой отрезка, соединяющего точку и её образ. Исходная точка, центр и образ лежат на одной прямой. Такое правило позволяет строить фигуру, как будто она повернута на 180° вокруг центра.

Как это устроено

Преобразование удобно представлять как правило: оно не выбирает отдельные точки случайно, а каждой точке назначает ровно один образ. Чтобы преобразовать фигуру, применяют это правило ко всем её точкам. Для многоугольника достаточно начать с вершин, потому что стороны соединяют соседние вершины, а симметрия сохраняет прямолинейность.

При осевой симметрии через точку A проводят перпендикуляр к оси l. Это направление нужно потому, что ось должна быть серединным перпендикуляром к AA′, а значит, отрезок AA′ обязан пересекать ось под прямым углом. Затем на другой стороне оси откладывают такое же расстояние, поэтому точки A и A′ оказываются равноудалёнными от оси.

При центральной симметрии образ A′ лежит на прямой, проходящей через A и центр O. Центр должен делить AA′ пополам, поэтому расстояния OA и OA′ равны, а направления от центра противоположны. Благодаря этому построение сводится к проведению прямой через A и O и откладыванию за центром отрезка такой же длины.

Обе симметрии сохраняют расстояния между любыми двумя точками. Причина в том, что отражение относительно оси или поворот на 180° не растягивает и не сжимает фигуру, а только меняет положение её точек. Поэтому образ отрезка имеет ту же длину, а угол между образами двух лучей равен исходному углу.

Для построения образа всей фигуры сначала находят образы её вершин, а затем соединяют их в том же порядке. Например, вершины A, B, C переходят в A′, B′, C′, после чего строят треугольник A′B′C′. Такой способ работает, потому что стороны и углы после симметрии сохраняются.

Сравнение осевой и центральной симметрии

Пользуйтесь таблицей, когда нужно выбрать способ построения. Сначала определите, задана прямая или точка, затем проверьте положение образа и неподвижные точки.

Разбор задач

Задача 1

Условие: Постройте образ точки A при осевой симметрии относительно прямой l, если A не лежит на l.

1. Из точки A проведите перпендикуляр к прямой l и обозначьте точку пересечения с осью буквой H.
2. Измерьте отрезок AH. На продолжении прямой AH за осью отложите отрезок HA′ такой же длины.
3. Проверьте, что AA′ перпендикулярен l, а H является серединой AA′.

Ответ: точка A′, построенная по этим двум условиям, является образом точки A относительно оси l.

Задача 2

Условие: Постройте образ треугольника ABC при центральной симметрии относительно точки O.

1. Проведите прямые AO, BO и CO.
2. На продолжении каждой прямой за точку O отметьте точки A′, B′ и C′ так, чтобы OA′ = OA, OB′ = OB и OC′ = OC.
3. Соедините A′, B′ и C′ в том же порядке, что и исходные вершины.

Ответ: треугольник A′B′C′ — образ треугольника ABC. Центр O является серединой отрезков AA′, BB′ и CC′.

Задача 3

Условие: Дан четырёхугольник и его образ при осевой симметрии. Определите ось симметрии и обоснуйте, что соответствующие стороны равны.

1. Соедините каждую вершину исходного четырёхугольника с соответствующей вершиной образа.
2. Проведите серединные перпендикуляры к этим отрезкам. Если фигуры действительно симметричны относительно одной оси, перпендикуляры совпадут; эта общая прямая и есть ось.
3. Для соответствующих сторон, например AB и A′B′, используйте сохранение расстояний: при осевой симметрии расстояние между A и B равно расстоянию между A′ и B′.

Ответ: общая серединная перпендикулярная к отрезкам между соответствующими вершинами — ось симметрии, а соответствующие стороны равны.

Типичные ошибки

При осевой симметрии иногда проводят через точку перпендикуляр к оси, но откладывают образ на глаз. Ошибка возникает из-за того, что прямого угла недостаточно: расстояния до оси тоже должны быть равны. Проверьте себя, измерив отрезки от исходной точки и её образа до оси.

При центральной симметрии бывает, что от центра откладывают произвольную длину. Так нарушается главное условие: центр обязан быть серединой отрезка между точкой и образом. Проверьте, лежат ли три точки на одной прямой и выполняется ли OA = OA′.

Центр симметрии путают с осью, потому что оба объекта связаны с построением образа. Но центр — это точка, а ось — прямая, поэтому правила построения у них разные. Перед началом работы выпишите, что задано: прямая или точка.

Иногда при построении образа фигуры изменяют её форму или размеры. Это происходит, если строят только приблизительное отражение и не проверяют расстояния между вершинами. Сравните несколько соответствующих отрезков и углов: они должны остаться равными.

Связь с другими темами

Для построения симметричных точек нужны навыки проведения перпендикуляра к прямой, откладывания равных отрезков и нахождения середины отрезка. Эти построения основаны на уже известных свойствах прямых и отрезков. Точность чертежа зависит от аккуратности выполнения каждого шага.

Симметрия пригодится при изучении равенства фигур и свойств геометрических фигур. Она помогает объяснять, почему соответствующие стороны и углы равны. В дальнейшем симметричные элементы будут использоваться при построении чертежей и доказательстве геометрических свойств.

Что запомнить

• Преобразование переводит точки плоскости в их образы.
• Образ фигуры состоит из образов всех её точек.
• При осевой симметрии ось делит пополам и перпендикулярно отрезок между точкой и её образом.
• При центральной симметрии центр является серединой отрезка между точкой и её образом.
• Точки оси остаются на месте при осевой симметрии.
• Обе симметрии сохраняют расстояния и величины углов.