§ 14. Понятие о геометрическом преобразовании

Определения и обозначения

Геометрическое преобразование плоскости — взаимно однозначное соответствие, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие точка той же плоскости. Иначе говоря, это правило, связывающее точки до и после изменения. Понятие нужно, чтобы точно описывать, как фигура переходит в другую, а не говорить только о её перемещении или изменении.

Образ точки — точка, в которую переходит данная точка при преобразовании. Если точка A переходит в точку A′, то A′ называют образом A. Обозначение со штрихом помогает отличать полученную точку от исходной и прослеживать переходы при рассмотрении фигуры.

Прообраз точки — точка, которая при преобразовании переходит в данную. Если A переходит в A′, то A является прообразом A′. При взаимно однозначном преобразовании у каждой точки ровно один прообраз, поэтому можно однозначно выяснить, откуда появилась выбранная точка.

Образ фигуры — фигура, состоящая из образов всех точек исходной фигуры. Значит, нужно преобразовать не только вершины, но и каждую точку, принадлежащую фигуре. Это определение помогает правильно установить, что именно считается результатом преобразования.

Как это устроено

Преобразование задаёт правило перехода от точки к точке, поэтому оно должно быть определено для каждой точки плоскости. Если правило действует лишь для нескольких выбранных точек, оно описывает только эти переходы, но не отвечает, куда попадут остальные. А без ответа для всех точек нельзя установить образ любой фигуры и считать заданным преобразование всей плоскости.

Взаимная однозначность означает две вещи: разные точки не должны переходить в одну и ту же, и у каждой точки плоскости должен быть прообраз. Первая часть нужна, чтобы результат не смешивал разные исходные точки, а вторая — чтобы ни одна точка не оставалась вне соответствия. Вместе эти условия позволяют восстановить исходную точку по её образу.

Чтобы получить образ фигуры, к каждой её точке применяют одно и то же правило. Совокупность полученных точек и есть новая фигура, потому что фигура сама состоит из точек. Если преобразовать только отдельные точки, например вершины, можно узнать их образы, но этого недостаточно для полного описания всех точек фигуры.

Соответствующие точки исходной и преобразованной фигур удобно записывать парами: A и A′, B и B′. Такая запись показывает, какая точка откуда перешла, и не даёт перепутать исходные точки с полученными. Для многоугольника она помогает назвать образ, сопоставляя вершины в правильном порядке.

Само слово «преобразование» не означает, что фигура обязательно сохранит прежние форму или положение. Правило может переместить фигуру, изменить её форму или оставить некоторые свойства неизменными. Поэтому свойства образа нельзя угадывать по одному названию преобразования: сначала нужно знать правило, а затем выяснять, что оно делает с точками.

Основные понятия геометрического преобразования

Сначала найдите в таблице понятие, которое требуется определить, а затем прочитайте его смысл и связь с обозначениями. Пары A и A′ удобно проверять по направлению перехода: от исходной точки к её образу. Для фигуры помните, что в определение входят все её точки.

Разбор задач

Задача 1

При преобразовании точка A переходит в A′. Укажите образ точки A и прообраз точки A′. Нужно внимательно проследить направление перехода: оно уже задано условием. Не требуется строить точки или выполнять вычисления.

1. Записываем переход из условия: A переходит в A′.
2. Образ — это результат перехода, поэтому образом A является A′.
3. Прообраз — исходная точка, которая дала выбранный результат, поэтому прообразом A′ является A.

Ответ: образ точки A — A′; прообраз точки A′ — A.

Задача 2

Точки A, B и C треугольника переходят соответственно в A′, B′ и C′. Назовите образ треугольника ABC. В условии указаны соответствия вершин, но образ фигуры включает образы не только этих трёх точек. Нужно учесть, что преобразование применяется ко всем точкам треугольника.

1. Сопоставляем вершины по условию: A переходит в A′, B — в B′, C — в C′.
2. Образом исходной фигуры становятся образы всех точек треугольника; в частности, его вершины переходят в A′, B′ и C′.
3. Образ треугольника обозначаем по полученным вершинам, сохраняя их соответствие.

Ответ: образ треугольника ABC — треугольник A′B′C′.

Задача 3

Правило переводит точку A в A′ и точку B в ту же точку A′, где A и B различны. Может ли это правило быть геометрическим преобразованием плоскости? Проверяем не форму получившейся фигуры, а условие взаимной однозначности. Для этого достаточно сопоставить образы двух разных точек.

1. По условию исходные точки A и B различны.
2. Их образы совпадают: и A, и B переходят в A′.
3. Значит, у A′ как минимум два прообраза, а разные точки имеют один и тот же образ.
4. Это нарушает взаимную однозначность, необходимую для преобразования плоскости.

Ответ: нет, такое правило не является геометрическим преобразованием плоскости.

Типичные ошибки

• Путать образ и прообраз — значит обратить направление перехода. Эту ошибку допускают, когда смотрят только на обозначения и не задают вопрос «куда переходит точка?». Проверьте себя записью: если A → A′, то образ A — A′, а прообраз A′ — A.

• Считать достаточным правило для нескольких точек нельзя: преобразование должно быть задано для всей плоскости. Обычно путают отдельные примеры переходов с полным правилом. Проверьте, можно ли определить образ любой точки, а не только названных в условии.

• Если разные точки переходят в одну, соответствие не является взаимно однозначным. Такое может показаться допустимым, если рассматривать только полученную точку, но у неё тогда окажутся несколько прообразов. Проверьте, не совпадают ли образы у каких-либо двух различных точек.

• Описывать образ фигуры только по вершинам недостаточно: преобразуются все точки фигуры. Ошибка возникает потому, что вершины легче перечислить, чем представить целую фигуру. Проверьте формулировку определения: образ включает все точки, полученные из точек исходной фигуры.

Связь с другими темами

Для работы с преобразованиями нужно знать, что такое точка, плоскость и геометрическая фигура, а также уметь обозначать точки буквами. Эти понятия помогают понять, какие объекты участвуют в соответствии и как записывать переходы. Позже геометрические преобразования понадобятся при изучении движений и других способов сопоставлять фигуры. С их помощью можно сравнивать исходную фигуру с её образом и выяснять, какие свойства изменились или сохранились.

Что запомнить

• Геометрическое преобразование задаёт соответствие точек плоскости самой себе.
• Каждой точке соответствует её образ.
• У каждой точки есть прообраз.
• При взаимно однозначном преобразовании разные точки имеют разные образы.
• Образ фигуры состоит из образов всех её точек.
• Обозначение A′ часто используют для образа точки A.