§ 13. Центральный угол. Дуга, сектор, сегмент

Определения и обозначения

Центральный угол — угол, вершина которого находится в центре окружности. Его стороны являются радиусами, то есть отрезками от центра до точек окружности. По этим сторонам удобно определить, какую часть окружности рассматривают.

Дуга окружности — часть окружности между двумя её точками. Дугу обозначают знаком дуги над буквами её концов, например ⌒AB. Это обозначение помогает отличить часть самой окружности от отрезка между точками.

Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности. Радиусы показывают его боковые границы, а дуга замыкает их снаружи. По сектору удобно описывать часть круга, похожую на кусок пирога.

Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой окружности. Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Это определение помогает не спутать сегмент с сектором: их границы устроены по-разному.

Как это устроено

Центральный угол задают двумя радиусами, потому что оба радиуса начинаются в одной точке — центре окружности. Каждый радиус достигает окружности в одной точке, поэтому у угла есть два конца на окружности. Именно эти точки задают дугу, на которую опирается угол.

Мера центрального угла равна мере соответствующей дуги, потому что угол показывает, какую долю полного оборота занимает дуга вокруг центра. Полный оборот составляет 360°, и столько же градусов содержит вся окружность. Поэтому, например, угол 65° задаёт дугу в 65°.

Между двумя точками окружности можно пройти по окружности двумя путями: коротким и длинным. Короткий путь называют меньшей дугой, длинный — большей; их меры вместе составляют 360°. Если центральный угол меньше 180°, он обычно задаёт меньшую дугу, а меру большей находят вычитанием: 360° минус мера меньшей.

Сектор получают, если провести из центра два радиуса к окружности и выделить часть круга между ними. Радиусы и дуга образуют его границу, а весь круг состоит из множества таких частей. Угол сектора показывает долю полного круга: например, 90° — это четверть круга, поскольку 90°/360° = ¼.

Сегмент образуется, когда круг делят хордой: каждая из двух частей ограничена этой хордой и одной из дуг с теми же концами. В отличие от сектора, у сегмента нет двух радиусов в качестве границ. Если провести хорду AB и радиусы OA и OB, меньший сегмент окажется внутри сектора AOB, но не будет самим сектором: из сектора исключена часть между хордой и дугой.

Центральный угол, дуга, сектор и сегмент

Чтобы определить понятие в задаче, сначала смотрите на границы фигуры: радиусы указывают на сектор, а хорда — на сегмент. Затем можно связать дугу с центральным углом. Эта связь пригодится и для вычисления доли круга, и для проверки ответа.

Разбор задач

Задача 1. В окружности с центром O центральный угол AOB равен 65°. Найдите градусную меру дуги AB.

1. Угол AOB — центральный: его вершина находится в центре O, а стороны OA и OB являются радиусами.

2. Мера дуги AB, на которую опирается этот угол, равна мере угла AOB. Значит, дуга AB имеет ту же градусную меру.

Ответ: 65°.

Задача 2. Центральный угол AOB равен 120°. Определите, какую часть полного круга составляет сектор AOB, и найдите его площадь, если радиус окружности равен 6 см.

1. Полный круг соответствует 360°, поэтому долю сектора находим делением: 120°/360° = ⅓. Значит, сектор составляет треть круга.

2. Площадь круга радиуса 6 см равна πr² = 36π см². Сектор занимает треть этой площади: 36π · ⅓ = 12π см².

3. Проверяем смысл результата: центральный угол меньше полного угла втрое, поэтому и площадь сектора должна быть втрое меньше площади круга.

Ответ: ⅓ круга; площадь сектора равна 12π см².

Задача 3. Хорда AB делит круг радиуса 5 см на два сегмента. Центральный угол, опирающийся на меньшую дугу AB, равен 90°. Определите, какой из получившихся фрагментов является меньшим сегментом, и сравните его с сектором AOB.

1. Угол 90° задаёт меньшую дугу AB, а оставшаяся большая дуга имеет меру 360° − 90° = 270°. Поэтому сегмент у меньшей дуги — меньший из двух сегментов.

2. Сектор AOB ограничен двумя радиусами OA и OB и меньшей дугой AB. Меньший сегмент ограничен той же дугой, но вместо двух радиусов его границей служит хорда AB.

3. Хорда AB проходит внутри сектора и отсекает от него треугольник AOB. Значит, меньший сегмент находится внутри сектора и меньше него.

Ответ: меньший сегмент ограничен хордой AB и меньшей дугой AB; он является частью сектора AOB и меньше этого сектора.

Типичные ошибки

Называют центральным угол с вершиной на окружности. Так происходит, если не замечают главного признака — положения вершины. Проверьте себя: у центрального угла вершина должна совпадать с центром окружности.

Путают дугу и хорду, считая дугой отрезок между двумя точками окружности. Обычно причина в том, что оба объекта имеют общие концы. Чтобы проверить себя, спросите, лежит ли объект на окружности: дуга — её часть, а хорда — прямой отрезок внутри круга.

Считают сектор частью круга, ограниченной хордой. Возможно, так происходит потому, что сектор и сегмент оба связаны с дугой. Проверьте границы: сектор образуют два радиуса и дуга, а хорда вместе с дугой ограничивает сегмент.

Приписывают дуге меру всего круга, не учитывая центральный угол. Ошибка возникает, если смешивают дугу и полную окружность. Помните: вся окружность соответствует 360°, а мера выбранной дуги равна мере соответствующего угла; меньшая и большая дуги вместе дают 360°.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определения окружности, круга, радиуса, диаметра и хорды, а также умение измерять углы в градусах. Центральный угол и дуга пригодятся при изучении длины окружности и длины дуги. Секторы встречаются в задачах о площади круга и площади его частей, а различие между сектором и сегментом помогает разбирать фигуры, ограниченные дугами и хордами.

Что запомнить

• Центральный угол имеет вершину в центре окружности.
• Стороны центрального угла являются радиусами.
• Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла.
• Полная окружность и полный круг соответствуют углу 360°.
• Сектор ограничен двумя радиусами и дугой.
• Сегмент ограничен хордой и дугой.
• Сектор и сегмент — разные части круга.