§ 12. Понятие угла. Угол как фигура

Определения и обозначения

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Его рассматривают как фигуру, потому что в геометрии важно не только, какие лучи служат границами, но и какая часть плоскости находится между ними. Это представление понадобится, когда углы будут сравнивать и изучать их свойства.

Стороны угла — лучи, образующие угол. Чтобы назвать сторону, указывают сначала её начало, а затем точку, лежащую на луче: например, луч OA начинается в O и проходит через A. Такая запись помогает отличить сторону угла от другой линии или луча на чертеже.

Вершина угла — общее начало его сторон. На рисунке это точка, из которой выходят оба луча, а не любая точка на них. Вершина задаёт место, где стороны соединяются, и обязательно учитывается при обозначении угла.

Внутренняя область угла — часть плоскости, расположенная между его сторонами. Если угол понимают как фигуру, внутреннюю область рассматривают вместе с ограничивающими её лучами. Это уточнение нужно, чтобы не сводить фигуру только к двум её границам.

Как это устроено

Представь две полупрямые, выходящие из одной точки. Каждая из них имеет начало, и если начала совпадают, лучи образуют угол; общая точка становится вершиной именно потому, что в ней сходятся обе стороны. Если начала разные, пары лучей с общей вершиной нет, поэтому такое построение углом не называют.

Прямая делит плоскость на две полуплоскости — две части по разные стороны от неё. Стороны угла задают такие границы, а между лучами выбирают внутреннюю область. Тогда угол как фигура включает и выбранную область, и оба луча, которые ограничивают её.

Слово «угол» может обозначать пару лучей или фигуру, состоящую из лучей и внутренней области. Это два близких, но не одинаковых смысла: пара лучей задаёт границы, а фигура охватывает ещё и часть плоскости. Различие особенно полезно, когда говорят о точках внутри угла или о его области.

Угол обозначают тремя заглавными буквами, например ∠AOB. Буква вершины O ставится в середине, потому что именно O является общей точкой лучей OA и OB; крайние буквы показывают точки на сторонах. Если поменять местами буквы на краях, вершина останется той же: ∠BOA обозначает тот же угол при выбранной области.

Когда рисунок не позволяет перепутать углы, достаточно одной буквы вершины: ∠O. Но если из O выходят несколько лучей, там образуется несколько углов, и краткая запись может оказаться непонятной. На чертеже угол также могут пометить числом или греческой буквой, например α; такое обозначение служит коротким именем конкретного угла.

Элементы угла и их обозначения

Сначала найди общее начало лучей и проверь, какие стороны образуют нужный угол. Затем прочитай обозначение: средняя буква в записи из трёх букв указывает вершину. Краткое обозначение одной буквой выбирай только тогда, когда его нельзя спутать с другим углом.

Разбор задач

1. Даны лучи OA и OB с общим началом O. Назовите угол, его стороны и вершину.

Начнём с общего начала: оба луча выходят из точки O, значит, это вершина. Точки A и B лежат на разных сторонах и помогают указать, какие именно лучи образуют угол. В записи из трёх букв вершину ставим между буквами точек на сторонах.

1. Записываем обозначение угла: ∠AOB.
2. Называем стороны: луч OA и луч OB.
3. Называем вершину: точка O, поскольку она является общим началом лучей.

Ответ: угол AOB, его стороны — лучи OA и OB, вершина — O. Можно записать ∠BOA: при тех же сторонах это тот же угол. Главное — сохранить O в середине обозначения.

2. Из точки O выходят лучи OA, OB и OC. Назовите углы, образованные парами лучей, и укажите их вершину.

Здесь лучей три, поэтому нужно рассмотреть каждую пару отдельно. У пары OA и OB получится один угол, у пары OB и OC — другой, а у пары OA и OC — третий. В каждом названии средняя буква будет O, потому что все лучи имеют общее начало в этой точке.

1. Для лучей OA и OB записываем ∠AOB.
2. Для лучей OB и OC записываем ∠BOC.
3. Для лучей OA и OC записываем ∠AOC; вершина каждого из трёх углов — O.

Ответ: ∠AOB, ∠BOC и ∠AOC; вершина каждого угла — точка O. Если на рисунке требуется назвать именно конкретную область при двух сторонах, проверь, какая из областей между лучами выделена. Это уточнение важно, когда выбранная область не очевидна.

3. Изобразите угол с вершиной M и сторонами MK и ML, выделите его внутреннюю область и обозначьте угол двумя способами.

Сначала отмечаем точку M: она должна быть общим началом обеих сторон. Через точки K и L задаём направления двух лучей, выходящих из M. Затем показываем часть плоскости между лучами — она вместе со сторонами образует угол как фигуру.

1. Проводим из M луч MK и из M луч ML.
2. Выделяем внутреннюю область между этими сторонами.
3. Записываем полное обозначение ∠KML; если на рисунке при M только этот угол, используем и краткое обозначение ∠M.

Ответ: построен угол KML с вершиной M, сторонами MK и ML и выделенной внутренней областью. Два обозначения — ∠KML и ∠M — допустимы, если краткое имя не создаёт путаницы. Если при M есть другие углы, оставляем полную запись.

Типичные ошибки

Ошибка — считать углом только два луча и забывать о внутренней области, когда речь идёт об угле как фигуре. Так происходит потому, что лучи заметнее на рисунке, чем пространство между ними. Проверь себя вопросом: нужно ли указать область или точки внутри неё? Если да, учитывай внутреннюю область вместе со сторонами.

Иногда вершиной называют точку A или B, которая просто лежит на стороне угла. Это путают с общим началом луча, особенно если точки на рисунке расположены близко. Найди начало каждого луча: вершиной будет только точка, из которой выходят обе стороны.

При записи тремя буквами можно ошибочно поставить вершину первой или последней. Причина — привычка перечислять буквы подряд, не учитывая их роли. Проверь запись, найдя её среднюю букву и сравнив её с общей точкой сторон: если они не совпадают, обозначение неверно.

Ещё одна ошибка — одним символом назвать разные углы при общей вершине. Краткая запись кажется удобной, но несколько пар лучей могут сходиться в одной точке. Перед обозначением одной буквой пересчитай углы при вершине; если возможна путаница, укажи три буквы, поставив вершину в середину.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в углах, нужно знать, что такое точка, прямая, луч и полуплоскость: они помогают увидеть стороны и область между ними. Позже понятие угла понадобится для изучения видов углов, их сравнения и измерения. Углы встречаются при работе с треугольниками и многоугольниками, а также в доказательствах геометрических утверждений.

Что запомнить

• Угол образован двумя лучами с общим началом.
• Общее начало сторон угла называется его вершиной.
• Лучи, образующие угол, называются его сторонами.
• Внутренняя область вместе со сторонами составляет угол как фигуру.
• В обозначении угла тремя буквами вершину пишут в середине.
• Обозначение одной буквой используют, только если угол можно определить однозначно.