§ 11. Полуплоскость

Определения и обозначения

Полуплоскость — одна из двух частей плоскости, на которые её разделяет прямая. Сама прямая в эти части не входит. Такое определение позволяет точно описать область, расположенную по одну сторону от выбранной прямой.

Граница полуплоскости — прямая, которая разделяет плоскость на две полуплоскости. Она отделяет одну область от другой, но не считается частью ни одной из них. Границу обозначают той же буквой, что и прямую, например a или m.

Точки по одну сторону прямой — точки, принадлежащие одной и той же полуплоскости относительно этой прямой. Они могут находиться далеко друг от друга и не обязаны лежать на одной прямой. Главное условие — между ними нет перехода через разделяющую прямую.

Точки по разные стороны прямой — точки, принадлежащие двум различным полуплоскостям относительно этой прямой. Разделяющая прямая проходит между областями, в которых находятся такие точки. Это понятие помогает сравнивать положение точек, не вычисляя расстояния между ними.

Как это устроено

Прямая бесконечна в обе стороны и не имеет концов, поэтому при прохождении через плоскость она не оставляет вокруг себя третьей области. С одной стороны от неё располагаются точки одной части, с другой — точки второй части. Поэтому плоскость распадается ровно на две полуплоскости, а прямая становится общей границей.

Точку, не лежащую на разделяющей прямой, относят к одной полуплоскости по её положению относительно линии. Достаточно представить, что прямая разбивает весь чертёж на две области, и найти область, в которой стоит точка. Перейти из одной области в другую можно только пересекши прямую.

Точки на самой прямой не относятся ни к одной полуплоскости, потому что они находятся не слева и не справа от границы, а непосредственно на ней. Если включить прямую в обе части, части перестанут быть раздельными: у них появятся общие точки. Поэтому в геометрическом определении граница отделена от обеих полуплоскостей.

Чтобы проверить положение двух точек, сначала найдите на чертеже разделяющую прямую, затем мысленно проведите от неё границу областей во все стороны. Если обе точки попали в одну область, они находятся по одну сторону. Если одна точка в первой области, а другая во второй, они расположены по разные стороны.

Прямая и полуплоскости позволяют кратко описывать расположение фигур. Например, можно сказать, что отрезок имеет концы по разные стороны прямой или что многоугольник лежит в одной полуплоскости. Такие формулировки нужны, когда изучают углы, пересечения и положение геометрических объектов на плоскости.

Расположение точки относительно прямой

Пользуйтесь таблицей в два шага: сначала проверьте, лежит ли точка на границе, а затем сравните области для точек, расположенных вне прямой. Не ориентируйтесь только на верх и низ листа: всё зависит от направления конкретной прямой.

Разбор задач

Задача 1

Прямая a разделяет плоскость на полуплоскости. Нужно указать, к какой полуплоскости относится точка A, если на чертеже она не лежит на a. Названия полуплоскостей могут быть заданы на рисунке, например верхняя и нижняя или левая и правая.

1. Найдём на чертеже прямую a и мысленно продолжим её в обе стороны.
2. Определим, в какую из двух областей попадает точка A.
3. Назовём эту область полуплоскостью, к которой относится точка A; саму прямую a не включаем.

Ответ: точка A принадлежит той из двух полуплоскостей, в которой она расположена на чертеже. Если области обозначены, нужно записать соответствующее обозначение.

Задача 2

Точки B и C не лежат на прямой m. Требуется определить по чертежу, находятся ли они по одну или по разные стороны от m. Для решения не нужно измерять расстояние между точками или проверять, лежат ли они на одной прямой.

1. Рассмотрим прямую m как границу двух полуплоскостей.
2. Определим, в какую полуплоскость попала точка B, а затем — точка C.
3. Сравним результаты: одинаковая полуплоскость означает одну сторону, разные полуплоскости — разные стороны.

Ответ: B и C находятся по одну сторону от m, если лежат в одной области, и по разные стороны, если расположены в двух областях. На конкретном чертеже выбирают один из этих вариантов.

Задача 3

Нужно провести прямую через заданную область так, чтобы точки P и Q оказались по разные стороны от неё, а точка R — на прямой. Иными словами, R должна стать точкой границы, а P и Q — точками разных полуплоскостей.

1. Поставим карандашную линию так, чтобы она проходила точно через точку R.
2. Повернём линию вокруг R и выберем положение, при котором P окажется с одной стороны, а Q — с другой.
3. Проведём через R бесконечную прямую в выбранном направлении и проверим положение всех трёх точек.

Ответ: подходит любая прямая, проходящая через R и разделяющая точки P и Q. Проверка состоит в том, что R лежит на линии, а P и Q — в разных полуплоскостях.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что разделяющая прямая входит в обе полуплоскости. Так происходит, когда область представляют как обычную половину листа с включённым краем. Проверьте себя: точки самой границы не должны относиться ни к одной из полуплоскостей.

Ошибка: назвать точки расположенными по разные стороны, хотя они находятся в одной области. Часто внимание обращают на расстояние между точками, а не на направление прямой. Мысленно закрасьте две полуплоскости и сравните, в одну ли закрашенную область попали точки.

Ошибка: считать, что любые точки по одну сторону прямой лежат на одной прямой. Условие «по одну сторону» говорит только о принадлежности одной полуплоскости, а не о коллинеарности точек. Проверьте, не подменили ли вы два разных свойства: положение относительно границы и положение на общей линии.

Ошибка: путать полуплоскость с половиной отрезка или угла. Полуплоскость простирается бесконечно и является частью всей плоскости, ограниченной одной прямой. Для проверки представьте, можно ли двигаться внутри этой области сколь угодно далеко, не пересекая границу.

Связь с другими темами

Для понимания полуплоскости нужны базовые представления о точке, прямой и плоскости, а также умение читать геометрический чертёж. Без этих понятий трудно увидеть, какая линия является границей и в какой области находится точка.

Полуплоскости используют при изучении углов, многоугольников и взаимного расположения фигур. С их помощью описывают, по одну ли сторону прямой лежат вершины, пересекает ли отрезок границу и как расположены части чертежа.

Что запомнить

• Прямая делит плоскость на две полуплоскости.
• Разделяющая прямая служит границей полуплоскостей.
• Точка, не лежащая на прямой, принадлежит одной из двух полуплоскостей.
• Точки по одну сторону прямой принадлежат одной полуплоскости.
• Точки по разные стороны прямой принадлежат разным полуплоскостям.
• Точки на границе не принадлежат ни одной из полуплоскостей.