§ 10. Область. Радиус. Хорда. Диаметр окружности

Определения и обозначения

Окружность — линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки; эту точку называют центром. Например, если отметить центр и провести вокруг него замкнутую линию на одном и том же расстоянии, получится окружность. Общая точка нужна, чтобы задавать положение линии, а одинаковое расстояние определяет её размер. Окружность — это только линия, а не вся область внутри неё.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с самой окружностью. Если представить нарисованную окружность, то кругом будет и её граница, и вся закрашенная область внутри. Поэтому слова «окружность» и «круг» не означают одно и то же: первая обозначает линию, второй — область. Это различие помогает точно описывать фигуру и её части.

Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой; буквой r обозначают длину радиуса. Один конец такого отрезка находится в центре, другой — на окружности. Радиус позволяет измерить расстояние от центра до границы и сравнивать размеры кругов. Для одной окружности можно провести много радиусов, но их длины будут одинаковыми.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности; диаметр — хорда, проходящая через центр. У хорды оба конца лежат на окружности, а у диаметра к этому условию добавляется прохождение через центр. Значит, каждый диаметр является хордой, но не каждая хорда — диаметр. Длину диаметра обозначают d.

Как это устроено

Представим на плоскости точку O и выберем расстояние r. Все точки, удалённые от O ровно на r, образуют окружность с центром O. Если расстояние изменить, изменится и размер окружности: при большем расстоянии точки окажутся дальше от центра, при меньшем — ближе. Поэтому одного центра недостаточно, чтобы задать конкретную окружность: нужно знать ещё и расстояние до неё.

К любой точке окружности можно провести отрезок из центра — это будет радиус. Все такие отрезки имеют одинаковую длину, потому что каждый показывает расстояние от одного центра до точки окружности, а по определению это расстояние одно и то же. Если бы два радиуса отличались, соответствующие точки находились бы на разных расстояниях от центра и не могли бы принадлежать одной окружности. Так радиус одновременно служит отрезком и мерой размера окружности.

Возьмём прямую, проходящую через центр, и отметим две точки её пересечения с окружностью. Центр окажется между этими точками, а отрезок между ними будет диаметром. Его можно разделить в центре на две части: от центра до одного края и от центра до другого края. Обе части — радиусы, потому что каждый их внешний конец лежит на окружности.

Из этого построения получается связь между диаметром и радиусом. Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому его длина равна сумме двух одинаковых отрезков: d = 2r. Например, при радиусе 4 см длина диаметра составляет 8 см. Если известен диаметр, то радиус находят обратным действием: r = d : 2.

Диаметр — особая хорда, потому что проходит через центр, но и остальные хорды соединяют две точки окружности. Хорда, не проходящая через центр, не делится центром на два радиуса и не является диаметром. Диаметр — наибольшая хорда: среди отрезков с концами на окружности он соединяет наиболее удалённые друг от друга точки. Поэтому длина любой хорды не больше длины диаметра.

Основные понятия об окружности и круге

Сверяйся с таблицей по расположению концов отрезка и по тому, включает ли фигура внутреннюю область. Если нужно определить вид отрезка, сначала найди его концы, затем проверь, проходит ли он через центр. Так легко отличить радиус от хорды, а хорду — от диаметра.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены центр O и точки A и B на окружности. Назовите отрезок, который является радиусом, и отрезок, который является хордой. Сначала нужно не угадывать по длине отрезка, а проверить положение его концов. Радиус начинается в центре, тогда как хорда соединяет две точки окружности.

1. Для радиуса один конец должен совпадать с O, а другой лежать на окружности. Поэтому из указанных отрезков радиусом является OA, если A — точка окружности.
2. У хорды оба конца должны находиться на окружности. Так как A и B лежат на ней, отрезок AB является хордой.

Ответ: OA — радиус, AB — хорда. При этом AB может быть диаметром только в том случае, если он проходит через O. Одного факта, что A и B лежат на окружности, для этого недостаточно.

Задача 2. Радиус окружности равен 4 см. Найдите её диаметр. Чтобы найти диаметр, нужно понять, сколько радиусов составляют отрезок через центр от одного края окружности до другого. По определению такой отрезок содержит два радиуса, поэтому применяем формулу d = 2r.

1. Записываем известное значение: r = 4 см. Требуется найти d — длину диаметра.
2. Подставляем радиус в формулу: d = 2 · 4 см. Умножаем 2 на 4 и получаем 8 см.

Ответ: диаметр равен 8 см. Проверка: если разделить 8 см на 2, получится исходный радиус 4 см. Единицы длины при вычислении сохраняются.

Задача 3. Диаметр окружности равен 13 см. Найдите радиус и объясните, может ли хорда этой окружности быть длиннее диаметра. Здесь нужно выполнить обратное действие к умножению на 2, потому что диаметр состоит из двух равных радиусов. Для второй части используем то, что диаметр является наибольшей хордой окружности.

1. Записываем формулу для радиуса: r = d : 2. Подставляем известное значение: r = 13 : 2 = 6,5 см.
2. Сравниваем хорду с диаметром. Любая хорда не длиннее диаметра, следовательно, хорда этой окружности не может быть длиннее 13 см.

Ответ: радиус равен 6,5 см; хорда не может быть длиннее диаметра. Она может иметь ту же длину, только если сама является диаметром. Если хорда не проходит через центр, её длина меньше.

Типичные ошибки

Иногда круг называют окружностью, потому что в быту словом «круг» могут обозначать круглую линию или фигуру целиком. В геометрии окружность — только граница, а круг включает ещё и область внутри. Проверить себя можно вопросом: речь идёт о линии или о закрашенной части вместе с границей? Если описана только линия, это окружность.

Радиусом ошибочно считают любой отрезок, который начинается в центре. Так происходит, если смотреть только на один конец и забыть проверить второй. У радиуса второй конец обязательно должен лежать на окружности; если он находится внутри круга, отрезок радиусом не является. Перед ответом проследи, куда именно доведён отрезок.

Хорду иногда называют диаметром, хотя она не проходит через центр. Причина ошибки — у обоих отрезков концы лежат на окружности. Чтобы отличить их, проверь дополнительный признак диаметра: на отрезке должна находиться центральная точка. Если центр не лежит на хорде, это просто хорда.

При поиске радиуса по диаметру могут умножить длину на 2, перепутав направление связи. Диаметр вдвое больше радиуса, поэтому, чтобы восстановить одну из двух равных частей, диаметр делят пополам. Проверка проста: найденный радиус, умноженный на 2, должен снова дать исходный диаметр. Например, из 13 см получается 6,5 см, а не 26 см.

Связь с другими темами

Для работы с окружностью нужно уметь узнавать отрезок, его концы и середину, а также измерять длину отрезка. Эти знания помогают увидеть, что диаметр делится центром на два радиуса, и правильно записать их длины. Далее радиус и диаметр понадобятся при изучении длины окружности и площади круга. Они также используются при построении геометрических фигур и в задачах на измерение.

Что запомнить

• Окружность состоит из точек, равноудалённых от центра.
• Круг — область, ограниченная окружностью, вместе с её границей.
• Радиус соединяет центр с точкой окружности.
• Хорда соединяет две точки окружности.
• Диаметр — хорда, проходящая через центр.
• Диаметр вдвое больше радиуса: d = 2r.
• Диаметр — наибольшая хорда окружности.