§ 9. Пересечение и объединение фигур

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — это множество точек плоскости. Точка принадлежит фигуре, если она входит в это множество, то есть является одной из точек фигуры. Так можно описать и отрезок, и угол, и окружность: каждый из них состоит из точек. Представление фигуры как множества помогает точно рассуждать о её частях и расположении относительно других фигур.

Объединение фигур A и B — фигура, состоящая из всех точек, принадлежащих хотя бы одной из этих фигур. Объединение записывают так: A ∪ B. Слово «хотя бы» означает, что точка может принадлежать только A, только B или сразу обеим фигурам. Такое обозначение удобно, когда нужно описать все точки, собранные вместе из двух фигур.

Пересечение фигур A и B — фигура, состоящая из точек, принадлежащих одновременно обеим фигурам. Его обозначают A ∩ B. Для попадания точки в пересечение недостаточно принадлежать только A или только B: она должна входить и в A, и в B. Это определение позволяет выделить общую часть фигур.

Общими точками фигур называют точки, принадлежащие каждой из рассматриваемых фигур. Именно эти точки образуют их пересечение. Если общих точек несколько, в пересечение входят они все, а не только одна выбранная точка. Понятие общих точек помогает переводить описание чертежа в запись A ∩ B.

Как это устроено

Фигуры удобно представлять множествами точек, потому что их форма может быть очень разной, а правило для операций остаётся одним и тем же. Для отрезка это точки прямой между концами и сами концы, для угла — точки его сторон и внутренней области, если она включена в фигуру. Можно не придумывать отдельное правило для каждой формы, а проверять принадлежность точки. Поэтому определения объединения и пересечения подходят для любых фигур.

В объединении достаточно принадлежности хотя бы одной фигуре: цель операции — собрать все точки, которые есть в A или в B. Если точка принадлежит обеим фигурам, она всё равно входит в объединение, но учитывается как одна и та же точка. В пересечении условие строже, потому что мы ищем не все точки двух фигур, а только их общую часть. Поэтому принадлежность проверяют сразу для обеих фигур.

На чертеже сначала определите, какие точки принадлежат каждой исходной фигуре. Затем для объединения оставьте точки, отмеченные хотя бы в одном из двух наборов, а для пересечения — те, которые отмечены в обоих. Такой способ помогает не полагаться только на внешний вид закрашенной области. Особое внимание уделяйте концам отрезков и границам других фигур: их включают в результат, если они входят в исходные фигуры.

Формы результатов могут быть разными, потому что всё зависит от того, как расположены исходные фигуры. Пересечение двух отрезков может быть отрезком, если они накладываются, или одной точкой, если соприкасаются концами. Если фигуры не имеют общих точек, пересечение пусто. Объединение же может состоять из нескольких отдельных частей, например если два отрезка лежат на одной прямой и не соприкасаются.

Результат операции не обязан совпадать по виду с исходными фигурами. Два отрезка могут иметь объединение из двух раздельных отрезков, а пересечение — всего одну точку. Если один угол целиком расположен внутри другого, их пересечение будет меньшим углом. Поэтому после нахождения результата важно описать именно получившееся множество точек, а не называть его фигурой по аналогии с исходными.

Объединение и пересечение фигур

Чтобы пользоваться таблицей, сначала выясните, какую операцию нужно выполнить: собрать все точки или найти только общие. Затем примените соответствующее условие к каждой точке чертежа или числового промежутка. Для отрезков проверьте также, входят ли в результат их концы.

Разбор задач

Задача 1. Даны отрезки AB и CD на одной прямой: AB = [1; 5], CD = [3; 7]. Найдите их объединение и пересечение. Сначала сравним, какие числа входят в каждый отрезок: первый содержит числа от 1 до 5, второй — от 3 до 7. Их общая часть лежит между 3 и 5, а вместе они покрывают весь промежуток от 1 до 7.

1. Для объединения берём все точки хотя бы одного отрезка. Самая левая точка — 1, самая правая — 7, и между ними промежутки перекрываются.
2. Для пересечения берём только точки обоих отрезков. Общая часть начинается в 3 и заканчивается в 5.

Ответ: AB ∪ CD = [1; 7], AB ∩ CD = [3; 5]. Квадратные скобки показывают, что концы входят в отрезки и поэтому включены в результаты. Здесь пересечение — отрезок, потому что у исходных отрезков есть целая общая часть.

Задача 2. Даны два угла с общей вершиной и общей стороной; один угол расположен внутри другого. Опишите их объединение и пересечение. Внутреннее расположение означает, что каждая точка меньшего угла принадлежит также большему. Поэтому у одного угла все точки уже содержатся в другом, и отдельной третьей области между ними не возникает.

1. Для объединения собираем точки обоих углов. Точки меньшего угла уже есть в большем, поэтому результат не шире большего угла.
2. Для пересечения ищем точки, которые принадлежат обоим углам. Это все точки меньшего угла, так как он целиком расположен внутри большего.

Ответ: объединение совпадает с большим углом, пересечение — с меньшим углом. Общая вершина и сторона входят в оба результата, поскольку принадлежат обоим исходным углам. Этот пример показывает, что при полном включении одной фигуры в другую объединение и пересечение совпадают с исходными фигурами.

Задача 3. Даны отрезок AB и окружность с центром O. Их общие точки — P и Q. Опишите пересечение фигур и их объединение. По условию P и Q принадлежат и отрезку, и окружности, а других общих точек нет. Значит, перечислять нужно именно эти две точки, а объединение описывать шире — через все точки обеих фигур.

1. Для пересечения оставляем только общие точки отрезка и окружности. По условию это P и Q.
2. Для объединения собираем все точки окружности и все точки отрезка. Точки P и Q входят в обе фигуры, а остальные точки входят в одну из них.

Ответ: пересечение — множество точек P и Q; объединение — фигура, состоящая из всех точек отрезка AB и окружности с центром O. Называть объединение только отрезком или только окружностью нельзя: оно содержит обе исходные фигуры. Так видно, почему результат операции не всегда имеет один привычный геометрический вид.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что в объединение входят только точки, принадлежащие обеим фигурам. Так путают слова «хотя бы одной» и «обеим»: последнее условие относится к пересечению. Проверка простая: возьмите точку, которая есть только в A, и спросите, должна ли она попасть в объединение; должна. Если её исключили, условие прочитано неверно.

Вторая ошибка — включать в пересечение точки, принадлежащие лишь одной фигуре. Это происходит, когда при чтении чертежа внимание уделяют только одной фигуре или принимают близкие точки за общие. Для проверки проследите каждую отмеченную точку отдельно: она должна входить и в A, и в B. Если хотя бы одно из условий не выполнено, точка не принадлежит пересечению.

Иногда забывают, что границы тоже могут входить в объединение или пересечение. Например, конец отрезка включён в него, если отрезок задан вместе с концами, а потому может стать общей точкой. Ошибка возникает, если рассматривать только внутреннюю область фигуры. Проверяйте обозначения и условие задачи: включайте границу тогда, когда она принадлежит исходной фигуре.

Ещё одна ошибка — утверждать, что пересечение обязательно является отрезком или фигурой определённого вида. В действительности оно может состоять из одной точки или быть пустым, если общих точек нет. Иногда это забывают, потому что в задачах часто изображена заметная общая область. Проверьте, есть ли на самом деле хотя бы одна точка, принадлежащая всем фигурам одновременно, и опишите найденный результат без догадок.

Связь с другими темами

Для работы с объединением и пересечением нужно понимать, что такое геометрическая фигура и как определить принадлежность точки ей. Также пригодится умение изображать отрезки, углы и окружности и находить их общие точки на чертеже. Эти операции помогают описывать взаимное расположение фигур и решать задачи, где фигуры рассматривают как множества точек. Поэтому точное чтение чертежа связано с правильным применением определений.

Что запомнить

• Объединение включает точки, принадлежащие хотя бы одной из фигур.
• Пересечение включает точки, принадлежащие обеим фигурам одновременно.
• Объединение обозначают A ∪ B.
• Пересечение обозначают A ∩ B.
• Пересечение фигур может быть пустым.
• Результат операции не обязательно имеет тот же вид, что исходные фигуры.