§ 8. Ломаная и ее длина

Определения и обозначения

Ломаная — фигура из последовательно соединённых отрезков: конец одного отрезка является началом следующего. Например, если точки A, B и C соединены в этом порядке, получаем ломаную ABC. Такое описание помогает понять, как устроен путь из нескольких прямых участков.

Звенья ломаной — отрезки, из которых она состоит. Их обозначают буквами концов: у ломаной ABCD это AB, BC и CD; по записи сразу видно, какие точки соединены. Нумеровать звенья можно по порядку, начиная с первого, чтобы не пропустить ни одного при подсчёте длины.

Вершины ломаной — концы её звеньев и точки, в которых звенья соединяются. В ломаной ABCD точки A и D — концы, а B и C — внутренние вершины, потому что в каждой из них сходятся два звена. Это различие нужно, чтобы установить начало и конец незамкнутой ломаной.

Длина ломаной — сумма длин всех её звеньев. Например, для ABCD длина равна AB + BC + CD; каждое звено учитывают один раз. Такая запись позволяет найти общий путь, даже если его участки имеют разные длины.

Как это устроено

Ломаную задают последовательностью точек, например A, B, C, D. Каждая пара соседних точек определяет ровно одно звено: AB, BC и CD. Порядок важен, потому что перестановка букв меняет, какие отрезки соединены и как проходит ломаная. По списку точек удобно проверять число и обозначения всех звеньев.

Чтобы найти длину, нужно сложить длины звеньев, так как путь проходит по каждому из этих участков. Если ломаная состоит из AB, BC и CD, её длина равна AB + BC + CD. Каждое звено включают в сумму один раз: повторный подсчёт увеличит результат, а пропуск уменьшит его. Единицы у слагаемых должны совпадать, иначе сначала, например, метры переводят в сантиметры.

У незамкнутой ломаной крайние точки различны: путь начинается в одной точке и заканчивается в другой. У замкнутой ломаной последнюю вершину соединяют дополнительным звеном с первой, поэтому начало и конец обхода совпадают. Это различие важно при перечислении звеньев: у замкнутой фигуры нельзя забыть отрезок, который замыкает путь.

Ломаная называется простой, если её звенья не пересекаются, кроме соседних звеньев в их общей вершине. Такое соприкосновение необходимо: именно так соседние отрезки соединяются. Если пересекаются несоседние звенья, возникает самопересечение, и ломаная уже не является простой. Проверять нужно именно несоседние отрезки, а не считать общую вершину нарушением.

Между двумя точками длина ломаной не меньше длины соединяющего их отрезка. Для двух звеньев это следует из неравенства треугольника: сумма длин двух сторон треугольника не меньше длины третьей стороны. Для ломаной из нескольких звеньев это рассуждение можно повторять, заменяя части пути прямыми отрезками. Равенство возможно, когда звенья лежат на одном отрезке и путь не отклоняется от прямого направления.

Виды ломаных и их особенности

Пользуйся таблицей, чтобы различать виды ломаных и проверять, какие отрезки входят в её состав. При вычислении длины сначала найди все звенья, затем сложи их длины. Для замкнутой ломаной отдельно проверь, учтено ли звено, соединяющее последнюю вершину с первой.

Разбор задач

Задача 1. Ломаная состоит из трёх звеньев длиной 4 см, 5 см и 3 см. Нужно найти её длину. Все значения уже даны в сантиметрах, поэтому переводить единицы не требуется.

1. Запишем длину как сумму длин всех трёх звеньев: 4 + 5 + 3.
2. Сначала сложим 4 и 5, получим 9; затем прибавим 3 и получим 12.

Ответ: длина ломаной равна 12 см. Мы учли каждое звено один раз, поэтому получили полную длину пути.

Задача 2. Два звена ломаной имеют длины 6 см и 8 см, а расстояние между её концами равно 10 см. Сравним длину ломаной и отрезка между концами. Две звена и отрезок образуют стороны треугольника, поэтому можно применить неравенство треугольника.

1. Найдём длину ломаной: 6 + 8 = 14 см.
2. Сравним 14 см и 10 см: 14 см больше 10 см, то есть путь по ломаной длиннее отрезка.
3. Проверим общий принцип: 14 см не меньше 10 см, как и требует неравенство треугольника.

Ответ: длина ломаной равна 14 см и больше отрезка между её концами на 4 см. Прямой отрезок соединяет те же точки, но путь по двум звеньям меняет направление.

Задача 3. Ломаная ABCDE состоит из четырёх звеньев. Первые три имеют длины 3 см, 4 см и 5 см, а вся ломаная — 18 см; нужно найти последнее звено и сравнить ломаную с AE = 12 см. Сначала используем сумму всех звеньев, а затем отдельно проверим сравнение с отрезком между крайними точками.

1. Обозначим длину DE буквой x. Запишем длину ломаной: 3 + 4 + 5 + x = 18.
2. Сложим известные длины: 3 + 4 + 5 = 12. Тогда x = 18 − 12 = 6 см.
3. Сравним длину ломаной 18 см с AE = 12 см: 18 см больше 12 см, что согласуется с неравенством треугольника.

Ответ: последнее звено DE равно 6 см; длина ломаной 18 см больше отрезка AE на 6 см. В сравнении участвует вся ломаная, а не только найденное последнее звено.

Типичные ошибки

Иногда при сложении пропускают звено, потому что путают число вершин и число отрезков между ними. Для незамкнутой ломаной с четырьмя вершинами звеньев три, а не четыре. Проверь себя: перечисли все пары соседних точек и отметь каждую пару после включения в сумму.

Длины, записанные в разных единицах, нельзя сразу складывать как обычные числа. Ошибка возникает, когда сантиметры и метры принимают за одну и ту же меру. Перед вычислением переведи все значения в одну единицу и в конце укажи её в ответе.

Не всякая ломаная является простой: несоседние звенья могут пересекаться. Часто простоту ошибочно связывают только с тем, что звенья соединены последовательно. Проверь пересечения именно несоседних отрезков; общая вершина соседних звеньев простоте не мешает.

Нельзя считать, что путь по ломаной короче отрезка между её концами. Такую ошибку допускают, сравнивая только отдельные звенья, а не их сумму. Сложи длины всех звеньев и сопоставь сумму с отрезком: она должна быть не меньше него.

Связь с другими темами

Для изучения ломаной нужны знания об отрезке, его концах и длине. Умение измерять отрезки и складывать их позволяет вычислять длину всей фигуры. Если единицы измерения отличаются, понадобится переводить их к одной общей единице.

Неравенство между длиной ломаной и соединяющим её концы отрезком основано на неравенстве треугольника. Это сравнение пригодится при изучении треугольников и расстояний: прямой отрезок между точками не длиннее пути с поворотами. Оно помогает проверять, правдоподобен ли полученный ответ.

Понятия звена и вершины нужны при изучении многоугольников. Границей многоугольника служит замкнутая ломаная, а её стороны и вершины связаны с соответствующими звеньями и точками ломаной. Поэтому умение находить все звенья помогает разбирать строение многоугольников.

Что запомнить

• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Отрезки ломаной называют её звеньями.
• Точки соединения соседних звеньев — вершины ломаной.
• Длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев.
• У замкнутой ломаной начало и конец совпадают.
• Простая ломаная не имеет самопересечений, кроме соединения соседних звеньев в общей вершине.
• Длина ломаной между двумя точками не меньше длины отрезка между ними.