"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Он нужен, чтобы задавать расстояние между точками и описывать стороны геометрических фигур. Длину отрезка выражают положительным числом с указанием единицы измерения. Если точка находится между концами, длина целого отрезка складывается из длин частей. Отрезки с одинаковыми длинами называют равными, а середина делит отрезок на две равные части.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отрезок — часть прямой, состоящая из двух его концов и всех точек между ними. Если концы обозначены буквами A и B, говорят «отрезок AB»; его концы — точки A и B. Обозначение помогает понять, какую именно часть прямой рассматривают.
Длина отрезка — положительное число, показывающее, сколько единиц длины содержится в отрезке. Длины выражают в выбранных единицах: например, сантиметрах или метрах. Такая запись позволяет сравнивать отрезки и выполнять вычисления с ними.
Равные отрезки — отрезки, имеющие одинаковую длину. Равенство устанавливают сравнением длин: если длины совпадают, отрезки равны. Это понятие позволяет говорить о равенстве самих фигур, а не только о совпадении их положения на чертеже.
Середина отрезка — точка этого отрезка, которая делит его на два равных отрезка. Если M — середина AB, то AM и MB равны. Середина помогает находить длины частей, когда известна длина всего отрезка.
Прямая продолжается бесконечно в обе стороны, а луч имеет начало и продолжается в одну сторону. У отрезка есть два конца, поэтому он ограничен ими, и все его точки расположены между концами или совпадают с одним из них. Именно наличие двух границ отличает отрезок от прямой и луча. Например, отрезок AB включает точки A и B, а не только линию между ними.
Чтобы измерить отрезок, сначала выбирают единицу длины, например сантиметр, а затем выясняют, сколько таких единиц в нём укладывается. Если единицу заменить, изменится числовая запись: одна и та же длина может быть записана как 100 см или 1 м. Значит, число зависит от выбранной единицы, а расстояние между концами остаётся тем же. Поэтому при записи результата всегда указывают единицу измерения.
Пусть точка C лежит между концами A и B. Тогда отрезок AB состоит из двух частей — AC и CB, которые вместе покрывают его без промежутков и наложений. Поэтому длина целого равна сумме длин частей: AB = AC + CB. Это свойство работает именно при таком расположении точек, потому что только тогда части составляют весь рассматриваемый отрезок.
Сравнить отрезки можно по их длинам: достаточно определить длину каждого и сопоставить полученные числа. Если длины одинаковы, отрезки называют равными, даже если на рисунке они направлены по-разному или находятся в разных местах. Например, отрезки длиной 4 см равны, потому что каждый содержит одинаковое число сантиметров. Так сравнение не зависит от того, как фигуры нарисованы.
Если известны длины целого отрезка и одной его части, другую часть находят вычитанием. Из равенства AB = AC + CB следует CB = AB − AC. Если известны обе части, их складывают, чтобы получить длину целого. Перед вычислением нужно убедиться, что точка разделяет именно этот отрезок на указанные части.
| Понятие или ситуация | Что означает | Основное свойство или способ действия |
|---|---|---|
| Отрезок | Часть прямой с двумя концами и точками между ними | Обозначают по концам, например отрезок AB |
| Длина отрезка | Положительное число, показывающее размер отрезка | Записывают с единицей измерения |
| Равные отрезки | Отрезки одинаковой длины | Сравнивают их длины |
| Точка между концами отрезка | Точка разделяет отрезок на две части | Длина целого равна сумме длин частей |
| Середина отрезка | Точка делит отрезок на равные части | Обе части имеют одинаковую длину |
Сначала найдите в таблице нужное понятие или ситуацию, затем используйте соответствующее свойство. При вычислениях проверьте, что длины записаны в одинаковых единицах. Это поможет избежать ошибок при сложении и сравнении.
Задача 1. Отметьте на рисунке отрезок AB и назовите его концы. Нужно распознать фигуру, а не только провести линию между двумя буквами. У отрезка должны быть две граничные точки, обозначенные A и B.
Ответ: отрезок AB; его концы — A и B. При обозначении порядок букв можно поменять: отрезок BA имеет те же концы.
Задача 2. Отрезок AB равен 8 см, точка C лежит между A и B, а AC = 3 см. Найдите CB. Так как C находится между концами, AB состоит из частей AC и CB, поэтому можно применить свойство сложения длин.
Ответ: CB = 5 см. Проверка показывает, что две части в сумме дают заданную длину AB.
Задача 3. Точка M — середина отрезка AB длиной 14 см. Найдите AM и MB. Середина делит отрезок на равные части, значит, AM = MB, а сумма этих частей равна 14 см. Две одинаковые части составляют целое, поэтому длину целого нужно разделить на два.
Ответ: AM = 7 см, MB = 7 см. Обе длины равны, как и требуется по определению середины.
Ошибка — считать, что отрезок состоит только из линии между концами, не включая сами концы. Так думают, потому что на рисунке точки могут выглядеть отдельными отметками. Но концы входят в отрезок по определению. Проверьте себя: обозначенные точки A и B должны принадлежать отрезку AB.
Не путайте отрезок и его длину: отрезок — геометрическая фигура, а длина — число с единицей измерения. Путаница возникает, когда запись фигуры и её размера используют рядом. Чтобы проверить ответ, спросите себя, можно ли у числа указать единицу: длина 5 см осмысленна, а сам отрезок не является числом. При сравнении длин следите, чтобы единицы совпадали.
Нельзя складывать длины частей, если точка не лежит между концами рассматриваемого отрезка. Ошибка возникает, когда взаимное расположение точек не проверяют и сразу подставляют числа в формулу. Сначала отметьте концы и выясните, образуют ли названные части целый отрезок. Если образуют, их длины складываются в длину целого.
Середина не делит отрезок на части разной длины: такое предположение противоречит определению. Иногда ученик принимает за середину любую точку на отрезке, в том числе отмеченную примерно посередине рисунка. Проверьте, что точка лежит на отрезке и расстояния до обоих концов равны. Рисунок сам по себе не заменяет это условие.
Чтобы изучать отрезки, нужно знать, что такое точка, прямая и луч, и уметь обозначать геометрические фигуры буквами. Эти понятия помогают распознать отрезок и назвать его концы. Сложение и вычитание длин частей пригодятся в задачах, где требуется найти неизвестный отрезок или длину целого. Равенство отрезков и их середина используются при построениях и при изучении геометрических фигур.
Входят ли концы в отрезок?
Да, отрезок включает оба своих конца и все точки между ними. Если концы обозначены A и B, обе точки A и B принадлежат отрезку AB.
Чем отрезок отличается от его длины?
Отрезок — геометрическая фигура, состоящая из концов и точек между ними. Длина — положительное число, которое показывает размер этой фигуры; её записывают с единицей измерения, например 5 см.
Почему при измерении длины указывают единицу?
Число показывает, сколько выбранных единиц укладывается в отрезке. Без единицы непонятно, измеряли ли длину в сантиметрах, метрах или другой мере.
Когда можно сложить длины двух отрезков, чтобы получить длину третьего?
Это можно сделать, когда два отрезка составляют части третьего, а их общая точка лежит между его концами. Тогда длина целого равна сумме длин частей.
Как понять, что точка является серединой отрезка?
Точка должна лежать на отрезке и делить его на две равные части. Значит, расстояния от неё до обоих концов одинаковы.
§ 7. Отрезок. Длина отрезка
