§ 17. Основные свойства движений

Определения и обозначения

Движение плоскости — преобразование, при котором расстояние между любыми двумя точками сохраняется. Если точки A и B перешли в A′ и B′, то AB = A′B′. Это основное определение темы: оно позволяет проверять, какие свойства фигур останутся неизменными после преобразования.

Образ точки — точка, в которую переходит данная точка при движении. Например, если A переходит в A′, то A′ называют образом точки A, а соответствие записывают A → A′. Такая запись нужна, чтобы не перепутать исходные точки с точками после движения.

Образ фигуры — фигура, составленная из образов всех точек исходной фигуры. Так, образ треугольника состоит из образов всех его точек, в том числе его вершин. Это понятие помогает описывать результат движения целой фигуры, а не только одной точки.

Равные фигуры — фигуры, которые можно совместить движением. При таком совмещении сохраняются расстояния между соответствующими точками, поэтому совпадают соответствующие длины и форма фигур. Понятие равенства позволяет сравнивать фигуры, даже если они расположены на плоскости по-разному.

Как это устроено

Возьмём отрезок AB и его образ. Точка A переходит в A′, а точка B — в B′, поэтому концы отрезка оказываются в этих двух точках. По определению движения расстояние между образами равно исходному расстоянию: A′B′ = AB. Образом отрезка будет именно отрезок A′B′, а не ломаная: промежуточные точки исходного отрезка тоже переходят в точки на прямой между A′ и B′.

Точки одной прямой после движения остаются коллинеарными, то есть лежат на одной прямой. Чтобы увидеть причину, выберем на прямой точки A, B и C так, чтобы B лежала между A и C; тогда AB + BC = AC. После движения все три расстояния сохраняют значения, и равенство A′B′ + B′C′ = A′C′ тоже выполняется. Оно возможно, когда образ точки B лежит между A′ и C′, поэтому образы этих точек находятся на одной прямой.

Угол при движении переходит в равный ему угол. Его стороны образуют два луча, а любые выбранные на них точки переходят в точки на образах этих лучей. Расстояния между выбранными точками и вершиной сохраняются, значит, сохраняются стороны построенного треугольника. Такие треугольники равны, а соответствующие углы в равных треугольниках имеют одинаковую величину.

Движение сохраняет и взаимное расположение фигур. Например, две параллельные прямые не пересекаются, а их образы тоже остаются прямыми и не могут пересечься: иначе у точки пересечения был бы исходный образ, общий для обеих исходных прямых. Значит, образы параллельных прямых не пересекаются и остаются параллельными.

У фигуры и её образа совпадают размеры и сохраняется расположение частей относительно друг друга. Каждая пара соответствующих точек находится на одинаковом расстоянии, поэтому длины отрезков, углы и другие элементы формы не меняются. Следовательно, исходную фигуру можно совместить с её образом движением, а по определению такие фигуры равны.

Что сохраняется при движении

Используйте таблицу как краткий план проверки: сначала определите, какой объект дан, затем найдите его образ. После этого выберите сохранённое свойство, которое нужно для вывода или вычисления. Например, для длины образа отрезка достаточно воспользоваться сохранением расстояния.

Разбор задач

Задача 1

При движении точка A переходит в A′, а точка B — в B′. Если AB = 5 см, найдите A′B′. Нужно связать длину исходного отрезка с расстоянием между образами его концов. Для этого достаточно применить определение движения.

1. Записываем соответствие точек: A → A′ и B → B′.
2. По определению движения расстояние между точками не меняется, поэтому A′B′ = AB.
3. Подставляем известную длину: A′B′ = 5 см.

Ответ: 5 см. Здесь не требуется знать, куда именно переместились точки: для длины важен только факт сохранения расстояния.

Задача 2

Отрезок AB при движении переходит в отрезок A′B′. Известно, что AB = 7 см. Найдите длину A′B′ и объясните, почему результат верен. Сначала важно понять, какие точки соответствуют концам отрезка, а затем применить свойство движения к этим точкам.

1. По условию концы A и B переходят соответственно в A′ и B′.
2. Расстояние между любой парой точек при движении сохраняется, значит, A′B′ = AB.
3. Подставляем AB = 7 см и получаем A′B′ = 7 см.

Ответ: 7 см. Результат верен, потому что длина отрезка равна расстоянию между его концами, а это расстояние при движении не меняется.

Задача 3

Треугольник ABC движением переводится в треугольник A′B′C′. Известны AB = 4 см, BC = 6 см и угол B = 50°. Укажите соответствующие равные элементы образа и обоснуйте, что треугольники равны. По названию треугольников видно соответствие вершин: A ↔ A′, B ↔ B′, C ↔ C′.

1. Сохраняются расстояния между соответствующими точками, поэтому A′B′ = AB = 4 см и B′C′ = BC = 6 см.
2. При движении сохраняются величины углов, значит, угол B′ равен углу B и составляет 50°.
3. В треугольниках равны две стороны и угол между ними: AB = A′B′, BC = B′C′, угол B = угол B′. Следовательно, треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.

Ответ: A′B′ = 4 см, B′C′ = 6 см, угол B′ = 50°; треугольники ABC и A′B′C′ равны. При сравнении важно сохранять соответствие вершин, иначе можно сопоставить стороны или углы, которые не являются соответствующими.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что при движении сохраняются только длины отдельных отрезков. Так думают, если запоминают примеры, но упускают слова «любые две точки» в определении. Проверка простая: выберите любую пару точек и сопоставьте расстояние между ними с расстоянием между образами.

Ошибка — допускать, что образ отрезка может быть ломаной. Такое предположение возникает, если представить, что его концы переместились независимо от промежуточных точек. При движении сохраняется расположение точек на одной прямой, поэтому проверьте, лежат ли образующие отрезок точки на прямой.

Ошибка — сравнивать стороны и углы без учёта соответствия точек. Из-за этого можно, например, сравнить угол A с углом B′, хотя это не соответствующие вершины. Перед сравнением выпишите пары вершин и проверьте, что у сторон и углов совпадают соответствующие обозначения.

Ошибка — думать, что движение обязательно перемещает каждую точку. Это впечатление возникает из обычного смысла слова «движение», но геометрическое преобразование может оставить некоторые точки на месте. Чтобы проверить себя, вспомните поворот вокруг точки: центр поворота сохраняет своё положение, хотя остальные точки могут переместиться.

Связь с другими темами

Для работы с движениями нужно уметь находить расстояние между точками, распознавать отрезки, прямые и углы, а также знать признаки равенства треугольников. Они помогают объяснять, почему элементы и фигуры после преобразования совпадают по размеру. Позже сохранение длин и углов понадобится при изучении симметрий, поворота и параллельного переноса. Само понятие движения помогает обосновывать равенство фигур и решать задачи на построение.

Что запомнить

• Движение сохраняет расстояние между любыми двумя точками.
• Образ отрезка при движении — отрезок той же длины.
• Образ прямой при движении — прямая.
• При движении сохраняются величины углов.
• Параллельные прямые при движении остаются параллельными.
• Фигура и её образ при движении равны.