"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Две точки окружности задают центральный угол, дугу и хорду. Эти объекты связаны: градусная мера меньшей дуги равна соответствующему центральному углу, а равным углам одной окружности соответствуют равные хорды. Если углы не больше 180°, большему углу отвечает большая дуга и большая хорда. Эти зависимости помогают сравнивать части окружности и находить неизвестные величины в задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Центральный угол — угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны пересекают окружность. Например, если O — центр, то ∠AOB — центральный угол. По нему удобно определять, какую часть окружности рассматривают.
Дуга окружности — часть окружности между двумя её точками. Одни и те же концы делят окружность на меньшую и большую дуги, поэтому при решении задачи нужно уточнять, о какой из них идёт речь. Например, дуги AB можно обозначать ⌒AB, добавляя слова «меньшая» или «большая».
Градусная мера дуги — число градусов, равное градусной мере центрального угла, опирающегося на эту дугу. Так, если меньшей дуге соответствует угол 60°, её градусная мера тоже равна 60°. Это позволяет находить меру дуги, не измеряя её длину.
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда AB соединяет точки A и B, между которыми также проходит дуга. Хорды нужны, чтобы сравнивать отрезки внутри окружности и устанавливать их связь с углами и дугами.
Возьмём две точки A и B на окружности и проведём радиусы OA и OB из центра O. Вместе они образуют центральный угол AOB, а точки A и B задают дугу AB. Если соединить эти точки отрезком, получится хорда AB. Так возникают три объекта с общими концами: угол, дуга и отрезок.
Градусную меру меньшей дуги связывают с центральным углом, который опирается на неё: по определению она равна мере этого угла. Например, если угол AOB равен 72° и меньше 180°, то меньшая дуга AB имеет меру 72°. Большая дуга с теми же концами дополняет её до полной окружности, то есть её мера равна 360° − 72°.
Если два центральных угла одной окружности равны, то их меньшие дуги равны по градусной мере. Причина в том, что мера каждой дуги совпадает с мерой соответствующего угла. Если один угол больше другого и оба не превосходят 180°, то и соответствующая ему дуга больше: у дуги будет большая градусная мера.
Равным центральным углам в одной окружности соответствуют равные хорды. Чтобы увидеть почему, рассмотрим треугольники OAB и OCD: стороны OA, OB, OC и OD — радиусы, поэтому они равны между собой. Если углы AOB и COD равны, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, их третьи стороны AB и CD тоже равны.
Связь работает и в обратном направлении: равные хорды одной окружности стягивают равные меньшие дуги и соответствующие центральные углы. Кроме того, среди углов не больше 180° большему углу соответствует большая хорда. Для углов свыше 180° нельзя просто применять это правило: такой угол опирается на большую дугу, а прямое сравнение хорд удобно вести через меньшие дуги и углы не больше 180°.
| Что сравниваем | Центральные углы | Дуги | Хорды |
|---|---|---|---|
| Равенство | Равным центральным углам соответствуют равные дуги и хорды | Равные меньшие дуги имеют равные градусные меры | Равные хорды стягивают равные меньшие дуги |
| Обратное соответствие | Равным хордам соответствуют равные центральные углы | Равным хордам соответствуют равные меньшие дуги | Равным дугам соответствуют равные хорды |
| Порядок величин для углов не больше 180° | Большему углу соответствует большая дуга и большая хорда | Большей дуге соответствует больший угол и большая хорда | Большей хорде соответствуют большая дуга и больший угол |
Сначала проверь, что сравниваемые объекты принадлежат одной окружности, а дуги и углы выбраны согласованно. Для сравнения величин используй строку о порядке только при углах не больше 180°. Если известны равные хорды, переходи к равенству меньших дуг и центральных углов.
Центральный угол равен 72°. Найдите градусную меру соответствующей меньшей дуги. Нужно понять, какая связь соединяет заданный угол и искомую дугу. Так как угол меньше 180°, он опирается на меньшую дугу.
Ответ: 72°.
В одной окружности центральные углы AOB и COD равны. Сравните соответствующие дуги AB и CD и хорды AB и CD. Здесь достаточно применить правило о равных центральных углах, но важно учесть, что все элементы рассматриваются в одной окружности. Равные углы дают равные дуги, а равные дуги соответствуют равным хордам.
Ответ: дуги AB и CD равны, хорды AB и CD равны.
В одной окружности хорда AB больше хорды CD, а обе соответствующие меньшие дуги не превосходят полуокружности. Сравните центральные углы AOB и COD и соответствующие дуги. Условие о меньших дугах важно: оно позволяет сравнить углы в диапазоне от 0° до 180°, где большей хорде соответствует больший угол. Не следует сопоставлять хорду с углом, опирающимся на большую дугу.
Ответ: ∠AOB > ∠COD, меньшая дуга AB больше меньшей дуги CD.
Путают центральный угол с вписанным. Центральный угол имеет вершину в центре окружности, а у вписанного угла вершина лежит на окружности. Путаница возникает потому, что оба угла связаны с дугой. Проверь положение вершины: если она не в центре, угол не центральный.
Считают градусную меру дуги её длиной. Градусная мера показывает угловую величину дуги, а длина — сколько единиц длины занимает часть окружности. Ошибку провоцирует слово «мера», которое встречается в обоих случаях. Проверь единицы: градусы обозначают угловую меру, сантиметры — длину.
Не уточняют, какую дугу рассматривают. Две точки окружности задают две дуги, и их градусные меры обычно различаются. Из-за этого можно принять меру большей дуги за меру меньшей. Проверь, о какой дуге говорится, и помни, что вместе их меры дают 360°.
Сравнивают хорды по углам больше 180° без оговорок. Правило «большему углу соответствует большая хорда» напрямую применяют к углам не больше 180°. Угол больше 180° относится к большой дуге, поэтому сравнение может сбить с толку. Для проверки перейди к меньшей дуге и центральному углу не больше 180°.
Чтобы работать с этой темой, нужно знать, что такое окружность, радиус и угол, а также уметь находить градусную меру угла. Эти понятия помогают распознавать центральный угол и понимать, какие точки задают дугу и хорду. Если они знакомы, переходить от одного элемента к другому проще.
Доказательство равенства хорд опирается на признаки равенства треугольников. В построенных треугольниках стороны от центра до окружности — радиусы, а значит, радиусы одной окружности равны. Равенство треугольников позволяет заключить, что равны и хорды.
Связь углов, дуг и хорд пригодится при изучении вписанных углов и свойств хорд. Она также помогает решать задачи на окружность, когда дана только одна из величин, а требуется сравнить остальные. В таких задачах полезно сначала определить, какая дуга и какой центральный угол соответствуют хорде.
Как понять, какой угол называется центральным?
У центрального угла вершина находится в центре окружности, а стороны пересекают окружность. Например, угол AOB будет центральным, если точка O — центр.
Почему градусная мера дуги равна центральному углу?
Градусную меру дуги определяют как градусную меру центрального угла, который на неё опирается. Поэтому для меньшей дуги и соответствующего ей угла числа градусов совпадают.
Может ли одна хорда задавать две дуги?
Да. Концы хорды делят окружность на две дуги: меньшую и большую. Если хорда является диаметром, обе дуги — полуокружности.
Как по равенству хорд сделать вывод о равенстве дуг?
Если хорды принадлежат одной окружности и равны, то равны и соответствующие им меньшие дуги. Их центральные углы тоже равны, потому что градусные меры этих дуг совпадают с мерами углов.
Всегда ли большему центральному углу соответствует большая хорда?
Такое прямое сравнение верно, когда оба угла не больше 180° и относятся к одной окружности. Для углов больше 180° нужно сравнивать меньшие дуги и соответствующие им углы.
§ 18. Соответствие между центральными углами, дугами и хордами
