§ 19. Градусное измерение дуг и углов. Виды углов. Перпендикулярные прямые

Определения и обозначения

Градусная мера дуги — число градусов, соответствующее дуге окружности; для всей окружности она равна 360°. Дугу можно представить как часть полного оборота вокруг центра. Эта мера помогает описывать, какую часть окружности занимают выбранные точки.

Градусная мера угла — величина, показывающая, сколько градусов составляет угол; развёрнутый угол равен 180°. Угол измеряют между его сторонами, выходящими из общей вершины. Зная его меру, можно сравнивать углы и находить их неизвестные части.

Виды углов — классификация углов по их градусной мере: нулевые, острые, прямые, тупые, развёрнутые и углы больше развёрнутого. Вид угла показывает, насколько он раскрыт по сравнению с 90° и 180°. Эта классификация помогает точно описывать фигуры и решать задачи.

Перпендикулярные прямые — две пересекающиеся прямые, образующие прямой угол. Иными словами, угол между ними равен 90°. Понятие нужно, чтобы описывать взаимное положение прямых и выполнять геометрические построения.

Как это устроено

Чтобы измерять дугу в градусах, полный оборот вокруг центра окружности принимают за 360°. Дуга занимает некоторую часть этого оборота, поэтому её мера показывает, сколько градусов приходится на соответствующий участок. Такая договорённость позволяет выражать поворот и часть окружности одной и той же единицей — градусом. Например, половина окружности составляет 180°, так как это половина от 360°.

Связь дуги с центральным углом возникает потому, что поворот радиуса от одного конца дуги к другому задаёт оба объекта одновременно. Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности и сторонами, направленными к концам дуги. При повороте на величину этого угла радиус проходит именно выбранную дугу. Поэтому градусные меры дуги и соответствующего ей центрального угла равны.

Если точки делят окружность на несколько непересекающихся дуг, вместе эти дуги проходят полный оборот. Значит, сумма их мер равна 360°, так же как сумма частей целого круга даёт целый круг. Чтобы найти неизвестную часть, складывают известные меры и вычитают результат из 360°. Для двух дуг с общими концами это правило даёт меру второй дуги по мере первой.

Вид угла определяют сравнением его меры с нулём, прямым углом 90° и развёрнутым углом 180°. Если мера меньше 90°, угол острый; если она лежит между 90° и 180°, угол тупой. При 90° угол прямой, а при 180° — развёрнутый. Угол между 180° и 360° раскрыт больше развёрнутого, но меньше полного оборота; при 0° его стороны совпадают.

При пересечении двух прямых возникают вертикальные и смежные углы. Вертикальные углы равны, а смежные образуют развёрнутый угол и потому в сумме дают 180°. Если один из углов равен 90°, смежный с ним тоже равен 90°, а вертикальный к каждому из них равен ему. Так получаются четыре прямых угла, и прямые называют перпендикулярными.

Виды углов и их градусные меры

Сначала сравни меру угла с 90° и 180°, затем выбери подходящую строку таблицы. Если угол измерен транспортиром, проверь, что отсчёт начинается от нуля на нужной стороне. Для углов между 180° и 360° сравнивают величину с половиной полного оборота.

Разбор задач

Задача 1. Центральный угол равен 58°. Найдите градусную меру дуги, на которую он опирается.

1. Проверяем, какой угол дан: он центральный, то есть его вершина находится в центре окружности.
2. Стороны этого угла направлены к концам нужной дуги, поэтому угол соответствует именно ей.
3. Меры дуги и центрального угла равны, значит, мера дуги составляет 58°.

Ответ: 58°.

Задача 2. Одна из двух дуг, на которые точки A и B делят окружность, равна 127°. Найдите меру второй дуги.

1. Замечаем, что обе дуги вместе составляют полную окружность, то есть 360°.
2. Из полной меры вычитаем известную: 360° − 127° = 233°.
3. Проверяем: 127° + 233° = 360°, значит, обе дуги в сумме дают полный оборот.

Ответ: 233°.

Задача 3. Две прямые пересекаются. Один из образовавшихся углов равен 64°. Найдите остальные углы и определите, перпендикулярны ли прямые.

1. Вертикальный угол равен данному, поэтому он тоже составляет 64°.
2. Каждый из двух смежных углов дополняет угол 64° до 180°: 180° − 64° = 116°.
3. Получаем углы 64°, 116°, 64° и 116°. Ни один не равен 90°, поэтому прямые не перпендикулярны.

Ответ: остальные углы — 64°, 116° и 116°; прямые не перпендикулярны.

Типичные ошибки

Иногда меру любой дуги сразу принимают за меру центрального угла. Равенство работает только для угла с вершиной в центре, стороны которого проходят через концы именно этой дуги. Перед вычислением проверь расположение вершины и концов дуги, иначе можно сопоставить не те объекты.

Дуги с одними и теми же концами ошибочно считают одинаковыми. На окружности между двумя точками есть меньшая и большая дуги, и их меры обычно различаются, хотя вместе они дают 360°. Уточни, какая дуга дана, а затем проверь, складываются ли меры до полного оборота.

Смежные углы иногда путают с вертикальными. Первые имеют общую сторону и в сумме составляют 180°, а вторые лежат друг напротив друга и равны. Чтобы проверить себя, посмотри на расположение углов: общая сторона указывает на смежность, противоположное положение — на вертикальность.

Пересечение прямых само по себе не означает перпендикулярность. Так думают, когда не проверяют величину угла между прямыми. Измерь угол или вычисли его по известным углам; назвать прямые перпендикулярными можно только при угле 90°.

Связь с другими темами

Перед этой темой нужно уметь пользоваться транспортиром, распознавать луч и угол, а также знать свойства смежных и вертикальных углов. Эти знания помогают измерять и вычислять углы без путаницы. Если измерение транспортиром вызывает трудности, сначала потренируйся находить вершину угла и его стороны.

Градусная мера дуги пригодится при изучении окружности и задач на центральные углы. Равенство меры дуги и центрального угла позволяет переходить от части окружности к углу и обратно. Оно особенно полезно, когда часть данных в задаче относится к дугам, а часть — к углам.

Перпендикулярность понадобится при построениях и изучении высот треугольника. Она также помогает исследовать свойства геометрических фигур, где важны прямые углы. Умение проверять угол в 90° позволяет отличить перпендикулярные прямые от просто пересекающихся.

Что запомнить

• Полная окружность имеет градусную меру 360°.
• Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла.
• Сумма мер дуг, составляющих окружность, равна 360°.
• Прямой угол равен 90°, развёрнутый — 180°.
• Вертикальные углы равны, а сумма смежных углов равна 180°.
• Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.