5.1. Параллельные прямые на плоскости

Определения и обозначения

Параллельные прямые — прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. Например, две прямые на листе, которые можно продолжать в обе стороны и которые не встретятся, параллельны. Это определение помогает отличать параллельные прямые от тех, которые лишь кажутся непересекающимися на небольшом рисунке.

Параллельность прямых обозначают записью a ∥ b, где a и b — названия прямых. Читают её так: «прямая a параллельна прямой b». Такой знак удобно использовать в чертежах и доказательствах, чтобы кратко записать взаимное положение прямых.

Секущая — прямая, которая пересекает две другие прямые в разных точках. Например, если прямая c пересекает прямые a и b, то c — секущая для них. Она помогает сравнивать прямые: при пересечениях возникают углы, по которым можно определить, параллельны ли a и b.

Углы, образованные секущей, разделяют на соответственные, накрест лежащие и односторонние. Их называют не только по величине, но прежде всего по тому, где они расположены относительно секущей и двух прямых. Различение этих пар нужно, чтобы правильно применять свойства и признаки параллельности.

Как это устроено

Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются нигде, даже при продолжении. На рисунке могут быть видны только короткие части прямых, поэтому отсутствие пересечения в пределах листа ещё ничего не доказывает. В пространстве прямые тоже могут не пересекаться, но при этом не лежать в одной плоскости; такие прямые не являются параллельными. Условие «в одной плоскости» отличает параллельность от простого непересечения в пространстве.

Когда секущая пересекает две прямые, у каждой точки пересечения образуются четыре угла. Соответственные углы занимают одинаковое положение у двух пересечений: например, оба расположены сверху от своей прямой и справа от секущей. Накрест лежащие углы находятся между двумя прямыми, но по разные стороны секущей. Односторонние внутренние тоже лежат между прямыми, однако расположены по одну сторону секущей.

Если прямые параллельны, секущая образует равные соответственные углы: их стороны направлены одинаково, поэтому величины совпадают. Накрест лежащие углы также равны, хотя они расположены по разные стороны секущей. Односторонние внутренние углы в сумме дают 180°: один из них дополняет другой до развёрнутого угла. Это свойства параллельных прямых — их используют, когда параллельность уже известна.

Обратные утверждения называют признаками параллельности. Если соответственные углы равны или накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. То же заключение можно сделать, если сумма односторонних внутренних углов равна 180°. Сначала нужно установить, какая именно пара углов дана, а затем проверить соответствующее равенство или сумму.

Через точку, которая не лежит на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной. Значит, можно провести такую прямую, но нельзя провести через эту точку две разные параллельные одной и той же прямой. Это правило относится к геометрии на плоскости и помогает строить параллельные прямые.

Свойства и признаки параллельных прямых

Пользуйся таблицей в два шага: сначала определи вид пары углов, затем сравни их величины или найди сумму. Если параллельность уже дана, применяй свойство, чтобы вычислить угол. Если нужно доказать параллельность, используй обратное условие — признак.

Разбор задач

1. Обозначение параллельных прямых

Условие. Даны две прямые a и b, которые не пересекаются на плоскости. Запишите их взаимное расположение с помощью символа. Здесь уже выполнено определение параллельных прямых: они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Поэтому достаточно выбрать знак, который обозначает параллельность.

1. Сопоставим условие с определением: прямые a и b находятся в одной плоскости и не пересекаются.
2. Запишем их взаимное расположение специальным символом параллельности.

Ответ: a ∥ b.

2. Накрест лежащие углы

Условие. Секущая пересекает прямые a и b. Один накрест лежащий угол равен 68°, причём a ∥ b. Нужно найти второй накрест лежащий угол. Поскольку параллельность уже дана, применяем свойство: накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. Вычисления сводятся к переносу известной величины на второй угол.

1. Определим вид пары: углы накрест лежащие.
2. Так как a ∥ b, их величины одинаковы.
3. Второй угол равен первому: 68°.

Ответ: 68°.

3. Признак параллельности

Условие. При пересечении прямых a и b секущей односторонние внутренние углы равны 113° и 67°. Докажите, что a ∥ b. Здесь нельзя сразу утверждать параллельность по одному виду углов: нужно проверить условие соответствующего признака. Для односторонних внутренних углов таким условием является сумма 180°.

1. Сложим величины углов: 113° + 67° = 180°.
2. Углы односторонние внутренние, и их сумма равна 180°.
3. По признаку параллельности прямых заключаем, что a и b параллельны.

Ответ: a ∥ b.

Типичные ошибки

Считать параллельными любые прямые, которые не пересекаются на рисунке, — ошибка: изображение может быть ограничено, а продолжения прямых не показаны. Так думают, потому что принимают чертёж за всю плоскость. Проверяй не только видимые части: по определению прямые должны не пересекаться при продолжении в обе стороны.

Можно перепутать соответственные и накрест лежащие углы. Первые занимают одинаковое положение относительно секущей, а вторые находятся между прямыми по разные стороны от неё. Ошибку часто вызывает похожее расположение углов на чертеже; чтобы проверить себя, сначала отметь, лежат ли углы внутри пары прямых, а потом сравни их положение относительно секущей.

Неверно утверждать, что односторонние внутренние углы равны. При параллельных прямых их сумма равна 180°, поэтому величины могут различаться, как 113° и 67°. Проверяй себя сложением: если сумма составляет 180°, используй нужное свойство или признак, а не равенство углов.

Нельзя применять свойство параллельных прямых, чтобы доказать параллельность, не проверив условие. Свойство начинается с известного факта a ∥ b, а признак позволяет получить этот факт из углов. Перед доказательством установи, что именно дано, и проверь равенство соответствующих или накрест лежащих углов либо сумму односторонних внутренних углов 180°.

Связь с другими темами

Для работы с параллельными прямыми нужны понятия прямой, плоскости, пересечения прямых и угла. Также пригодятся знания о смежных и вертикальных углах, умение измерять и сравнивать углы: без этого сложно распознать нужную пару и проверить условие. Дальше параллельность помогает изучать треугольники и четырёхугольники, работать с координатной плоскостью и выполнять геометрические построения. Поэтому свойства и признаки углов становятся инструментом для решения задач из других тем.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Параллельность прямых обозначают знаком ∥.
• Через точку вне прямой можно провести единственную параллельную ей прямую.
• При параллельных прямых соответственные углы равны.
• При параллельных прямых накрест лежащие углы равны.
• Сумма односторонних внутренних углов при параллельных прямых равна 180°.
• Равенство соответственных или накрест лежащих углов, а также сумма односторонних внутренних углов 180° служат признаками параллельности.