"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
Параллельные прямые не пересекаются, даже если продолжить их в обе стороны. Когда третья прямая пересекает две другие, она образует пары углов с особыми отношениями: некоторые равны, а сумма других составляет 180°. Эти связи помогают находить неизвестные углы и доказывать, что прямые параллельны. Главное — правильно определить положение углов и понять, используем ли мы свойство параллельных прямых или признак, по которому параллельность устанавливают.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельные прямые — прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся; записывают a ∥ b. Если представить прямые бесконечно длинными, они всё равно не встретятся. Это понятие нужно, чтобы описывать расположение прямых и применять правила для углов, которые они образуют.
Секущая — прямая, пересекающая две другие прямые в разных точках. Важно, что пересечения происходят именно в двух местах: тогда у каждого пересечения есть своя группа углов. Секущая связывает эти группы и позволяет сравнить углы у разных прямых.
Соответственные углы — углы, занимающие одинаковое положение при пересечении двух прямых секущей. Например, оба могут быть выше своих прямых и справа от секущей. Их положение помогает узнать такие углы на чертеже, даже если прямые наклонены иначе.
Накрест лежащие и односторонние углы — пары внутренних углов, расположенных соответственно по разные или по одну сторону от секущей. Внутренними называют углы между двумя прямыми. По этим признакам можно определить, какое соотношение углов проверить, когда нужно найти величину угла или доказать параллельность.
В каждой точке пересечения двух прямых образуются четыре угла: стороны этих углов лежат на двух прямых. Поэтому, когда секущая пересекает две прямые в разных точках, получается две группы по четыре угла — всего восемь. Чтобы различать пары, сначала мысленно отметь пространство между двумя прямыми: углы внутри него будут внутренними, остальные — внешними. Затем сравни положение углов относительно секущей и соответствующих прямых.
Если прямые параллельны, секущая пересекает их под одинаковым наклоном. Поэтому соответственные углы, занимающие одинаковое положение, равны; равны и накрест лежащие углы, которые оказываются по разные стороны секущей. Односторонние внутренние углы вместе образуют развёрнутый угол: один из них равен углу, смежному со вторым. Смежные углы составляют 180°, поэтому и сумма односторонних равна 180°.
У каждого пересечения есть вертикальные и смежные углы. Вертикальные углы равны, потому что их стороны образуют две пары противоположных лучей; смежные в сумме дают 180°, так как вместе составляют развёрнутый угол. Благодаря этим фактам можно «переносить» известную величину: найти равный ему угол у того же пересечения, а затем сопоставить его с углом у другой прямой. Так цепочка равенств связывает все восемь углов.
Связь работает и в обратную сторону. Если соответственные углы равны, то прямые расположены так, что при продолжении не пересекутся; значит, они параллельны. То же заключение следует из равенства накрест лежащих углов. Если сумма односторонних углов составляет 180°, это также показывает, что прямые параллельны: здесь не просто используют свойство уже параллельных прямых, а проверяют его обратное утверждение.
Для нахождения неизвестных углов начни с угла, величина которого дана, и определи остальные по равенству вертикальных или по сумме смежных. Если прямые параллельны, используй также пары соответственных и накрест лежащих углов. В кратком доказательстве называй конкретную пару и правило: например, «накрест лежащие углы равны, следовательно, прямые параллельны». Если параллельность ещё не установлена, сначала найди углы и проверь один из признаков, а не применяй свойства заранее.
| Пара углов | Свойство при параллельных прямых | Обратное утверждение |
|---|---|---|
| Соответственные углы | Равны | Если равны, то прямые параллельны |
| Накрест лежащие углы | Равны | Если равны, то прямые параллельны |
| Односторонние углы | В сумме дают 180° | Если их сумма равна 180°, то прямые параллельны |
Сначала посмотри на условие задачи: если параллельность дана, пользуйся свойствами из второго столбца. Если её нужно доказать, проверь обратные утверждения из третьего столбца. Для этого важно точно определить вид углов, иначе можно выбрать неверное правило.
Прямые a и b параллельны, их пересекает секущая. Один из углов равен 65°. Найдите величины соответственного, накрест лежащего и смежного с ним углов.
У соответственного угла положение такое же у второго пересечения. Поскольку прямые параллельны, соответственные углы равны: получаем 65°.
Накрест лежащий угол находится между прямыми и по другую сторону секущей. При параллельных прямых он также равен данному, значит, его величина 65°.
Смежный с исходным углом составляет с ним развёрнутый угол. Вычитаем известную величину из 180°: 180° − 65° = 115°.
Ответ: соответственный — 65°, накрест лежащий — 65°, смежный — 115°.
Прямые a и b параллельны. Односторонние углы имеют величины 3x + 10° и 5x − 30°. Найдите x и величины углов.
При параллельных прямых односторонние углы в сумме равны 180°. Поэтому складываем выражения для их величин и приравниваем сумму к 180°.
Получаем уравнение: (3x + 10) + (5x − 30) = 180. После приведения подобных слагаемых: 8x − 20 = 180, откуда 8x = 200 и x = 25.
Подставляем найденное значение в выражения. Первый угол равен 3 · 25 + 10 = 85°, второй — 5 · 25 − 30 = 95°. Проверка: 85° + 95° = 180°.
Ответ: x = 25; углы равны 85° и 95°.
При пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны 3x + 20° и 5x − 40°. Найдите x и докажите, что прямые параллельны.
Чтобы доказать параллельность по накрест лежащим углам, нужно установить их равенство. Здесь величины углов заданы выражениями, поэтому сначала приравниваем их: 3x + 20 = 5x − 40.
Переносим слагаемые: 60 = 2x, значит, x = 30. Подставляем: 3 · 30 + 20 = 110°, а 5 · 30 − 40 = 110°.
Углы действительно равны и по условию являются накрест лежащими. По обратному признаку параллельности прямые, пересечённые секущей, параллельны.
Ответ: x = 30; прямые параллельны по равенству накрест лежащих углов.
Путать соответственные, накрест лежащие и односторонние углы легко, если смотреть только на то, куда «смотрят» их стороны. Учитывай сразу два признака: находятся ли углы внутри между прямыми и по какую сторону от секущей. Проверь себя, обведя на чертеже внутреннюю область и отметив секущую.
Односторонние углы часто ошибочно считают равными, потому что остальные знакомые пары дают равенства. Но при параллельных прямых их сумма равна 180°, и сами они могут быть разными. Подставь значения в сумму: если она не равна 180°, значит, выбранная пара или вычисления неверны.
Нельзя применять свойства параллельных прямых, пока не известно и не доказано, что прямые параллельны. Такая ошибка возникает, когда признак и свойство принимают за одно и то же. Сначала проверь условие задачи или докажи параллельность по углам, и только потом используй свойства.
Равенство углов тоже требует обоснования: оно может следовать из параллельности, быть равенством вертикальных углов или получаться из смежных углов. Не ограничивайся записью чисел без указания причины. Проверь, какое именно правило связывает выбранные углы на рисунке.
Для этой темы нужны виды углов, свойства вертикальных и смежных углов, а также умение решать линейные уравнения. Знание параллельных прямых пригодится при доказательстве свойств треугольников и четырёхугольников и при построении параллельных прямых. Позже те же связи между углами используют в геометрических доказательствах и координатной геометрии, где прямые задают на плоскости.
Как быстро отличить соответственные углы от накрест лежащих?
Соответственные углы занимают одинаковое положение у двух пересечений: например, оба находятся сверху от прямых и справа от секущей. Накрест лежащие расположены между прямыми, но по разные стороны от секущей.
Почему односторонние углы не равны, а в сумме дают 180°?
При параллельных прямых один из односторонних углов можно сопоставить со смежным углом, равным второму. Смежные углы образуют развёрнутый угол, поэтому их сумма равна 180°.
Можно ли доказать параллельность только по одной паре углов?
Да, если это подходящая пара: соответственные или накрест лежащие углы должны быть равны. Также достаточно показать, что сумма односторонних углов равна 180°.
Чем свойство параллельных прямых отличается от признака параллельности?
Свойство применяют, когда параллельность уже известна: оно помогает найти углы. Признак действует наоборот: по соотношению углов устанавливают, что прямые параллельны.
Как найти все углы на рисунке, если известна величина только одного угла?
Сначала найди смежный угол: вместе они составляют 180°. Вертикальный угол равен исходному, а при параллельных прямых равенство соответственных и накрест лежащих углов позволяет определить углы у второго пересечения.
5. Параллельные прямые и углы
