§ 3. Знакомство с пирамидами

Определения и обозначения

Пирамида — многогранник, полученный соединением точки, не лежащей в плоскости многоугольника, со всеми вершинами этого многоугольника. Многоугольник остаётся в одной плоскости, а соединяющие его с внешней точкой отрезки образуют объёмную фигуру. Это определение позволяет отличить пирамиду от плоского многоугольника и других многогранников.

Основание пирамиды — многоугольник, выбранный в качестве исходной грани. Его стороны становятся нижними сторонами боковых треугольников, а его вершины соединяются с вершиной пирамиды. Основание нужно, чтобы договориться, какие грани считать боковыми и как называть фигуру: например, пирамида с пятиугольным основанием — пятиугольная.

Боковая грань — треугольник, боковое ребро — отрезок от вершины пирамиды до вершины основания, а вершина пирамиды — общая точка всех боковых граней. Эти понятия помогают описывать, как устроена фигура: боковых граней и рёбер столько же, сколько сторон у основания. Вершину пирамиды отличают от вершин основания, хотя все они являются вершинами многогранника.

Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из её вершины к плоскости основания. Апофема правильной пирамиды — высота её боковой грани, проведённая к стороне основания. Высота показывает расстояние от вершины до плоскости основания, а апофема лежит на боковой грани, поэтому эти отрезки решают разные геометрические задачи.

Как это устроено

Чтобы построить пирамиду, сначала выбирают многоугольник в плоскости, затем отмечают точку вне этой плоскости. Соединяют эту точку с каждой вершиной основания отрезком. Многоугольник вместе с полученными треугольниками ограничивает объёмную фигуру: внешняя точка не лежит в плоскости основания, поэтому соединения поднимаются над ней.

Каждая сторона основания вместе с двумя отрезками от её концов к вершине образует треугольник — отсюда форма боковых граней. Если в основании n сторон, каждой стороне соответствует одна боковая грань и каждому углу — одно боковое ребро. Поэтому у пирамиды n боковых граней и n боковых рёбер, а вершин основания вместе с вершиной пирамиды — n + 1.

Высоту нельзя путать с боковым ребром или апофемой. Боковое ребро соединяет две вершины, а апофема проходит по грани; ни одно из них не обязано быть перпендикулярным основанию. Высота определяется расстоянием от точки до плоскости, а кратчайший отрезок от точки до плоскости перпендикулярен ей. Поэтому высоту проводят именно перпендикулярно плоскости основания.

Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Правильный многоугольник имеет равные стороны и углы, а его центр равноудалён от вершин и сторон. Такое расположение вершины создаёт симметрию: она находится над центром основания, а не над произвольной его точкой.

В правильной пирамиде боковые грани равны между собой. Действительно, стороны основания равны, а вершина пирамиды равноудалена от всех вершин основания: прямоугольные треугольники с катетами-высотой и радиусом основания дают равные боковые рёбра. Поэтому каждая боковая грань имеет одинаковые три стороны с соответствующей гранью, и треугольники равны. Их высоты, проведённые к равным сторонам основания, также равны и являются апофемами.

Элементы и свойства пирамиды

Сначала определите число сторон основания n, затем примените формулы для количества элементов. Последний столбец помогает проверить, является ли пирамида правильной: одного правильного основания недостаточно, важно также расположение вершины. При подсчёте всех рёбер учитывайте и n рёбер основания, и n боковых рёбер.

Разбор задач

Задача 1. По изображению треугольной пирамиды нужно назвать основание, вершину, боковые грани, боковые рёбра и высоту. Обозначения вершин на изображении могут быть любыми, поэтому сначала определяем многоугольник, выбранный основанием. Затем по определению отмечаем общую вершину боковых граней и отрезок, перпендикулярный плоскости основания.

1. Находим треугольник, лежащий в плоскости основания, и называем его основанием пирамиды.
2. Отмечаем точку вне этой плоскости: это вершина пирамиды. Три треугольника, образованные этой точкой и сторонами основания, являются боковыми гранями.
3. Называем боковыми рёбрами отрезки от вершины пирамиды к трём вершинам основания. Высотой будет перпендикуляр из вершины к плоскости основания, даже если его конец не совпадает с вершиной основания.

Ответ: основание — выбранный треугольник; вершина — общая вершина боковых граней; боковые грани — три оставшихся треугольника; боковые рёбра соединяют вершину пирамиды с вершинами основания; высота перпендикулярна плоскости основания.

Задача 2. Основание пирамиды — пятиугольник. Сколько у неё боковых граней, боковых рёбер, вершин и всех рёбер? Число сторон основания равно пяти, поэтому удобно сначала перечислить элементы, соответствующие его сторонам и вершинам. Затем добавляем саму вершину пирамиды и рёбра основания.

1. Пяти сторонам основания соответствуют пять боковых треугольников, значит, боковых граней — 5.
2. К пяти вершинам основания проведено по одному боковому ребру, поэтому боковых рёбер — 5. Вершин основания пять, и ещё одна — вершина пирамиды: всего 6.
3. К пяти боковым рёбрам добавляем пять рёбер основания: всех рёбер 5 + 5 = 10.

Ответ: 5 боковых граней, 5 боковых рёбер, 6 вершин и 10 рёбер. Проверка: для n = 5 получаем n + 1 = 6 вершин и 2n = 10 рёбер.

Задача 3. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, высота — 4 см. Найдём апофему и боковое ребро. Поскольку основание — квадрат, расстояние от его центра до стороны равно 3 см, а до вершины — половина диагонали квадрата, то есть 3√2 см.

1. Проводим сечение через вершину пирамиды, центр основания и середину его стороны. Получаем прямоугольный треугольник с катетами 4 и 3, а гипотенуза — апофема: √(4² + 3²) = 5 см.
2. Для бокового ребра рассматриваем прямоугольный треугольник с катетами-высотой 4 см и расстоянием от центра основания до вершины 3√2 см.
3. По теореме Пифагора длина бокового ребра равна √(4² + (3√2)²) = √34 см.

Ответ: апофема равна 5 см, боковое ребро — √34 см. Для апофемы использовали расстояние до стороны основания, а для бокового ребра — расстояние до его вершины; это разные отрезки, поэтому результаты не совпадают.

Типичные ошибки

Иногда основанием называют любую грань пирамиды. Так происходит потому, что геометрически каждая грань — многоугольник, однако основание выбирают заранее, а остальные грани называют боковыми. Проверьте себя: основание должно быть тем многоугольником, от которого вершина пирамиды расположена вне плоскости и с которым соединены боковые грани.

Высоту часто путают с боковым ребром или апофемой, поскольку все эти отрезки связаны с вершиной и встречаются в задачах. Но боковое ребро заканчивается в вершине основания, апофема лежит в боковой грани, а высота перпендикулярна всей плоскости основания. Проверка проста: у высоты должен быть прямой угол именно с плоскостью основания, а не только с одной её стороной.

Не всякая пирамида правильная: иногда за признак правильности принимают только симметричный вид или равные стороны основания. Для правильности нужны одновременно правильный многоугольник в основании и проекция вершины в центре этого многоугольника. Проверьте оба условия; если хотя бы одно не выполнено, называть пирамиду правильной нельзя.

Ещё одна ошибка — смешивать число граней и число рёбер. Число n относится к сторонам основания, поэтому боковых граней n, но к ним добавляется само основание: граней всего n + 1. Рёбра же состоят из n рёбер основания и n боковых, всего 2n; полезно отдельно пересчитать оба вида.

Связь с другими темами

Для изучения пирамид нужны понятия многоугольника и многогранника, а также грани, ребра и вершины. Чтобы находить высоту, важно понимать перпендикулярность прямой и плоскости: именно она задаёт расстояние от вершины до основания. Свойства правильной пирамиды опираются на знания о центрах правильных многоугольников, радиусах и апофемах. Позже эти понятия пригодятся при вычислении площади и объёма многогранников, исследовании сечений и применении координатного метода в пространстве.

Что запомнить

• Пирамида состоит из многоугольника-основания и боковых треугольных граней.
• Число боковых граней и боковых рёбер равно числу сторон основания.
• У n-угольной пирамиды n + 1 вершина, 2n рёбер и n + 1 грань.
• Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания.
• Правильная пирамида имеет правильное основание, а основание её высоты является центром основания.
• В правильной пирамиде боковые грани равны между собой.
• Апофема правильной пирамиды — высота её боковой грани.