§ 1. Рациональные числа и их свойства

Определения и обозначения

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Например, −7/4 и 5 — рациональные числа. Целое число тоже рационально: число 5 можно записать как 5/1, то есть как отношение двух целых чисел с ненулевым знаменателем. Такое определение объединяет целые числа и дроби в одно числовое множество.

Дробь m/n — запись рационального числа как отношения целого числителя m к целому ненулевому знаменателю n. Разные пары числителя и знаменателя могут задавать одно и то же число: например, 1/2 и 2/4 равны. Это происходит потому, что при умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число значение дроби не меняется. Поэтому дробная запись не всегда единственна.

Противоположным числу a называют число, сумма которого с a равна нулю. Его обозначают −a: например, противоположное числу 6 — это −6, поскольку 6 + (−6) = 0. Такое обозначение удобно при вычитании: вычесть число означает прибавить противоположное ему. У каждого рационального числа есть противоположное.

Обратным числу называют число, произведение которого с данным равно единице. Для ненулевого числа a обратное обозначают 1/a: например, обратное к 4/7 — число 7/4. Нуль исключён из определения, потому что никакое число при умножении на 0 не даёт 1. Обратное число понадобится, чтобы заменить деление умножением.

Как это устроено

Одно рациональное число можно записывать разными дробями, потому что дробная черта обозначает деление числителя на знаменатель. Если числитель и знаменатель умножить на одно и то же ненулевое целое число, отношение не изменится: например, 3/5 = 6/10. Разделить их на общий ненулевой делитель тоже можно, получив более простую запись. Это позволяет приводить дроби к общему знаменателю и сравнивать их.

Сумма, разность и произведение рациональных чисел снова рациональны, поскольку правила действий сохраняют вид дроби с целыми числами в числителе и знаменателе. Например, для a/b и c/d сумма равна (ad + bc)/bd, разность — (ad − bc)/bd, а произведение — ac/bd; знаменатели b и d ненулевые, поэтому bd тоже не равен нулю. Значит, каждый результат снова представим отношением целых чисел с ненулевым знаменателем. При сложении и вычитании сначала удобно привести дроби к общему знаменателю.

Деление на ненулевую дробь заменяют умножением на её обратное число: (a/b) : (c/d) = (a/b) · (d/c), если b, c и d не равны нулю. Такая замена работает потому, что d/c при умножении на c/d даёт 1, то есть нейтральный элемент умножения. Делитель не может быть нулём: деление на него не определено. Поэтому перед вычислением частного нужно убедиться, что делитель отличен от нуля.

При сложении рациональных чисел можно менять слагаемые местами и по-разному расставлять скобки: a + b = b + a и (a + b) + c = a + (b + c). Те же переместительное и сочетательное свойства действуют при умножении. Они позволяют выбирать удобный порядок вычислений, не меняя результата. Для вычитания и деления эти свойства в общем случае не выполняются: например, 8 − 3 не равно 3 − 8.

Число 0 — нейтральный элемент сложения: прибавление нуля не меняет число, а противоположные числа в сумме дают ноль. Число 1 нейтрально при умножении: умножение на него сохраняет значение числа, а произведение ненулевого числа и обратного к нему равно 1. Умножение распределяется относительно сложения: a(b + c) = ab + ac, потому что произведение на сумму можно заменить суммой произведений. У нуля есть противоположное число — сам нуль, но нет обратного.

Действия с рациональными числами и их свойства

Сначала проверьте по строкам таблицы, допустимо ли действие и можно ли менять порядок чисел или скобок. Для деления отдельно убедитесь, что делитель ненулевой; для дробей также проверьте, что их знаменатели ненулевые. Свойства сложения и умножения помогают перестраивать выражения, но переносить их на вычитание и деление нельзя.

Разбор задач

Представим число −3 в виде дроби со знаменателем 5 и запишем два равных представления одного рационального числа. Надо получить нужный знаменатель, не изменив значение числа. Для этого используем равносильное преобразование: умножаем числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число. Проверка состоит в том, чтобы убедиться, что дроби дают прежнее отношение.

1. Чтобы знаменатель 1 у записи −3/1 стал равен 5, умножим числитель и знаменатель на 5.
2. Получаем −3/1 = (−3 · 5)/(1 · 5) = −15/5.
3. Для двух равных записей возьмём дробь 2/3 и умножим её числитель и знаменатель на 2: 2/3 = 4/6.

Ответ: −3 = −15/5; две равные записи одного числа — 2/3 и 4/6. В первом случае дробь со знаменателем 5 действительно равна −3, потому что −15 : 5 = −3. Во втором случае отношение не изменилось, так как числитель и знаменатель увеличили в одинаковое число раз.

Вычислим −2/3 + 5/6 − 1/2, выбрав удобный порядок. Сначала представим вычитание как сложение с противоположным числом: −2/3 + 5/6 + (−1/2). Общий знаменатель равен 6, поэтому преобразуем все дроби к шестым. Переместительное и сочетательное свойства разрешают сгруппировать слагаемые так, чтобы вычислить сумму без лишних действий.

1. Запишем выражение как −2/3 + 5/6 + (−1/2).
2. Приведём слагаемые к знаменателю 6: −4/6 + 5/6 + (−3/6).
3. Сложим удобные слагаемые: (−4/6 − 3/6) + 5/6 = −7/6 + 5/6 = −2/6.
4. Сократим дробь: −2/6 = −1/3.

Ответ: −1/3. Перестановка слагаемых не изменила сумму, а общий знаменатель позволил складывать только числители. В конце дробь сократили на общий делитель 2, сохранив её значение.

Упростим выражение (3/5 − 7/10) · (−4/3) + (−2/7) : (5/14). Сначала выполняются действия в скобках, умножение и деление, а затем сложение. Деление на 5/14 допустимо, потому что этот делитель не равен нулю; его заменим умножением на обратную дробь 14/5. Вычисление частей отдельно помогает не потерять знаки и порядок действий.

1. В скобках приведём дроби к знаменателю 10: 3/5 − 7/10 = 6/10 − 7/10 = −1/10.
2. Вычислим произведение: (−1/10) · (−4/3) = 4/30 = 2/15.
3. Заменим деление умножением на обратное: (−2/7) : (5/14) = (−2/7) · (14/5) = −4/5.
4. Сложим результаты с общим знаменателем 15: 2/15 − 4/5 = 2/15 − 12/15 = −10/15 = −2/3.

Ответ: −2/3. При умножении двух отрицательных множителей получилось положительное число, а при делении отрицательного числа на положительное — отрицательное. Проверка условий деления показала, что знаменатели и делитель не равны нулю.

Типичные ошибки

• Ошибка — считать, что дроби с разными числителями или знаменателями обязательно обозначают разные числа. Так думают, если сравнивают только внешний вид дробей, не учитывая, что одну запись можно преобразовать в другую. Проверьте равенство приведением к общему знаменателю или перекрёстным умножением: для a/b и c/d сравните ad и bc.

• Ошибка — складывать или вычитать знаменатели вместе с числителями. Обычно так поступают, перенося на дроби правила действий с целыми числами. Сначала приведите дроби к общему знаменателю, а затем складывайте или вычитайте только числители; например, 1/2 + 1/3 = 5/6, а не 2/5.

• Ошибка — путать противоположное число с обратным. Оба понятия связаны с числом a, но проверяются разными действиями: для противоположного сумма равна 0, а для обратного произведение равно 1. Перед вычислением спросите себя, требуется прибавить число или умножить на него; помните, что обратное определено только при a ≠ 0.

• Ошибка — делить на ноль или считать, что у нуля есть обратное число. Путаница возникает, если механически применять правило «деление заменить умножением на обратное», не проверив делитель. Перед делением проверьте, что он не равен нулю; обратного к нулю нет, поскольку никакое произведение с нулём не равно 1.

Связь с другими темами

Для работы с рациональными числами нужны знания о целых числах, обыкновенных дробях и правилах знаков. Эти правила помогают выполнять действия, а свойства рациональных чисел — преобразовывать алгебраические выражения и решать уравнения. Рациональные числа входят в числовые множества, которые изучают при переходе к действительным числам. Расширение числовой прямой позволяет представить и числа, не выражаемые дробью целых чисел.

Что запомнить

• Рациональное число представимо дробью m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0.
• Любое целое число является рациональным.
• Сумма, разность и произведение рациональных чисел рациональны.
• Деление на ненулевое рациональное число можно заменить умножением на обратное.
• Сложение и умножение рациональных чисел переместительны и сочетательны.
• Умножение распределительно относительно сложения.
• У нуля есть противоположное число, но нет обратного.