"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Рациональное число можно записать обыкновенной дробью, конечной десятичной дробью или бесконечной периодической десятичной дробью. Разные записи могут обозначать одно и то же число: например, ½ = 0,5 = 0,500. Вид десятичной записи связан со знаменателем сокращённой дроби: если в нём есть только множители 2 и 5, запись конечна, иначе она периодическая. Эти способы помогают удобно сравнивать числа и выполнять вычисления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0. Одно число может иметь много таких записей: например, 1/2 = 2/4 = 3/6. Это позволяет выбирать запись, удобную для вычисления или сравнения.
Обыкновенная дробь — запись рационального числа в виде отношения целых чисел m и n. Число m называют числителем: оно показывает, сколько долей взято; n — знаменателем, он показывает, на сколько равных частей делят единицу. Знаменатель не может быть равен нулю, потому что деление на ноль не определено.
Конечная десятичная дробь — десятичная запись, в которой после запятой стоит конечное число цифр, например, 0,125. Её можно представить обыкновенной дробью со знаменателем, равным степени 10: 0,125 = 125/1000. Такая запись удобна для вычислений десятичным способом.
Периодическая десятичная дробь — бесконечная десятичная запись, в которой с некоторого места повторяется одна цифра или группа цифр. Повторяющуюся группу называют периодом и заключают в скобки: 0,(3) = 0,333… . Скобки помогают кратко записать бесконечную последовательность цифр.
Одну величину можно выразить обыкновенной дробью, смешанным числом или десятичной дробью. Например, 11/4 = 2 3/4 = 2,75: смешанное число показывает две целые и три четверти, а деление 11 на 4 даёт десятичную запись. Записи равны, потому что каждая обозначает одно и то же количество. Выбор формы зависит от того, какая удобнее в конкретной задаче.
Чтобы получить десятичную запись дроби, делят числитель на знаменатель. Если деление на каждом шаге даёт остаток, то для получения следующей цифры остаток умножают на 10 и снова делят на знаменатель. Когда остаток становится нулём, дальше цифр после запятой не возникает: деление завершено. Например, 3/8 = 0,375, поскольку после трёх десятичных цифр остаток равен нулю.
При делении на знаменатель остаток может принимать лишь значения от 0 до n − 1, где n — знаменатель. Если остаток не стал нулём, рано или поздно он повторится: возможных остатков конечное число. После повторения того же остатка деление снова даст те же цифры, поэтому десятичная запись станет периодической. Так конечность числа возможных остатков объясняет появление периода.
Вид записи можно предсказать по знаменателю несократимой дроби. Если его простые множители — только 2 и 5, знаменатель можно домножить до степени 10: например, 8 = 2³, поэтому 3/8 = 375/1000. Если есть другой простой множитель, такой знаменатель нельзя превратить в степень 10 домножением на целое число, и десятичная запись будет периодической. Сокращение необходимо, потому что часть множителей исходного знаменателя может исчезнуть.
Периодическую дробь переводят в обыкновенную так, чтобы при вычитании совпали повторяющиеся части. Если период состоит из двух цифр, умножают на 100: запятая сдвигается на два разряда, а период оказывается в том же положении. Например, для x = 0,(27) равенство 100x = 27,(27) позволяет вычесть x и получить 99x = 27. Затем находят x и при необходимости сокращают дробь.
| Вид записи | Как выглядит | Как получить | Особенности |
|---|---|---|---|
| Обыкновенная дробь | m/n, n ≠ 0 | Записать числитель и знаменатель целыми числами | Дробь можно сократить; равные дроби могут выглядеть по-разному |
| Конечная десятичная дробь | Например, 0,375 | Разделить числитель на знаменатель до нулевого остатка | Представляется дробью со знаменателем — степенью 10 |
| Бесконечная периодическая десятичная дробь | Например, 0,(27) | Продолжать деление; повторение остатка приводит к повторению цифр | Период записывают в скобках; такая дробь рациональна |
Пользуйтесь таблицей, чтобы различать форму записи и способ её получения. Если нужно определить конечность десятичной записи, сначала приведите обыкновенную дробь к несократимому виду. Для перевода периодической записи в дробь применяйте сдвиг запятой и вычитание.
Задача 1. Записать число 3/8 в виде десятичной дроби. Нужно проверить, завершится ли деление, поэтому делим числитель на знаменатель. Поскольку 8 = 2³, можно ожидать конечную запись; письменное деление покажет её цифры. Важно не добавлять цифры после того, как остаток стал нулём.
Ответ: 0,375. Нулевой остаток подтверждает, что запись конечна. Проверить результат можно умножением: 0,375 × 8 = 3.
Задача 2. Определить, будет ли десятичная запись дроби 7/30 конечной или периодической. Нельзя делать вывод только по исходному знаменателю: сперва проверим, сократима ли дробь. Затем разложим знаменатель сокращённой дроби на простые множители. Наличие множителя, отличного от 2 и 5, укажет на периодическую запись.
Ответ: бесконечная периодическая десятичная дробь. Например, деление даёт 7/30 = 0,2(3). Дробь рациональна, несмотря на бесконечное число цифр после запятой.
Задача 3. Представить периодическую дробь 0,(27) в виде обыкновенной дроби. Период состоит из двух цифр, поэтому умножим число на 100: запятая сдвинется на два разряда. После вычитания исходного равенства повторяющиеся части исчезнут. Полученное уравнение решим и сократим дробь.
Ответ: 0,(27) = 3/11. При вычитании цифры периода сокращаются, потому что в обеих строках они совпадают после сдвига. Сокращённая дробь даёт точное значение бесконечной записи.
Ошибка — считать, что любая десятичная запись рационального числа конечна. Её допускают, потому что после запятой в обычных примерах часто записано несколько цифр, и кажется, что на этом число заканчивается. Но периодическая запись тоже задаёт рациональное число: например, 0,(3) = 1/3. Проверка: найдите обыкновенную дробь, равную записи, или проследите за остатками при делении.
Ошибка — определять вид десятичной записи по несокращённому знаменателю. В исходной дроби могут быть множители, которые сократятся с числителем, поэтому такой вывод окажется неверным. Сначала сокращают дробь, а затем проверяют простые множители знаменателя. Например, у 3/30 знаменатель 30 содержит множитель 3, но после сокращения получаем 1/10 и конечную запись.
Ошибка — неверно выделять период: в скобки включают неповторяющуюся часть или начинают повторяющуюся группу не с первой цифры. Это происходит, если не проследить, какие цифры действительно повторяются подряд. Запишите несколько повторов полностью: например, 0,1(6) = 0,1666… , а не 0,(16). Проверка — убедиться, что блок в скобках повторяется без изменений.
Ошибка — умножать периодическую дробь на неподходящую степень 10 или вычитать равенства, в которых периодические части не совпадают. Тогда при вычитании бесконечные части не сокращаются. Для периода из k цифр сдвигайте запятую на k разрядов, а для дроби с неповторяющимся началом сначала сдвиньте её за это начало. Перед вычитанием проверьте, что бесконечные хвосты в обеих строках одинаковы.
Для работы с записью рациональных чисел нужны навыки обращения с обыкновенными дробями: сокращение, деление с остатком и разложение натурального числа на простые множители. Эти знания помогают и при вычислении десятичной записи, и при проверке её конечности. Новые формы записи пригодятся при сравнении и вычислениях с числами. Позже они помогут отличать рациональные числа от иррациональных и разбирать множество действительных чисел.
Почему одну и ту же рациональную дробь можно записать по-разному?
Потому что дроби с разными числителями и знаменателями могут обозначать одно и то же отношение. Например, ½ = 2/4, а деление 1 на 2 даёт десятичную запись 0,5. Умножение числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число не меняет значение дроби.
Как понять, закончится ли деление числителя на знаменатель?
При письменном делении следят за остатками: если остаток стал нулём, деление завершилось и десятичная запись конечна. Если остатки начинают повторяться, далее повторяются и цифры частного. Конечность можно также проверить по знаменателю несократимой дроби.
Почему после сокращения дроби важно посмотреть на знаменатель?
Условие конечной десятичной записи относится именно к знаменателю несократимой дроби. В исходном знаменателе могут быть лишние множители, которые исчезнут при сокращении. После сокращения конечная запись будет только тогда, когда знаменатель содержит множители 2 и 5 и никакие другие простые множители.
Как обозначают период в десятичной дроби?
Повторяющуюся группу цифр заключают в скобки: например, 0,(27) означает 0,272727… . В скобки включают весь повторяющийся блок, начиная с первой цифры периода. Цифры, которые встречаются до начала повторения, в период не входят.
Как перевести бесконечную периодическую дробь в обыкновенную?
Обозначают дробь буквой и умножают равенство на степень 10 так, чтобы период сдвинулся на целое число разрядов. Затем вычитают исходное равенство из полученного: одинаковые периодические части сокращаются. Остаётся уравнение, из которого находят обыкновенную дробь.
§ 2. Способы записи рациональных чисел
