"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Отношение отрезков показывает, во сколько раз длина одного отрезка больше или меньше длины другого: его находят делением длин. Порядок отрезков важен, а сами длины нужно выразить в одинаковых единицах. Если отношения нескольких пар отрезков равны, отрезки называют пропорциональными. Это понятие помогает сравнивать геометрические величины и находить неизвестные длины по пропорции — например, в задачах о подобных треугольниках, масштабе и теореме Фалеса.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отношение двух отрезков — это отношение их длин, то есть частное, полученное делением длины одного отрезка на длину другого. Отношение AB к CD записывают как AB/CD, где в числителе стоит длина AB, а в знаменателе — длина CD. Оно показывает, во сколько раз одна длина больше или меньше другой. Такое сравнение используют, когда нужно выразить связь между отрезками одним числом.
Равные отношения отрезков — это отношения, значения которых одинаковы. Например, отношения 2/3 и 4/6 равны, потому что дроби обозначают одно и то же число. При этом равенство отношений не означает равенства самих отрезков: сравниваются результаты деления их длин. Это различие позволяет распознавать одинаковые соотношения даже у отрезков разной длины.
Пропорциональными называют отрезки, отношения длин которых равны. Равенство таких отношений записывают в виде пропорции, например a/b = c/d, где a, b, c и d — длины отрезков. В этой записи a и d называются крайними членами, а b и c — средними. Названия помогают правильно применять свойство пропорции и находить неизвестную длину.
Чтобы найти отношение отрезков, нужно сравнить их длины, выраженные в одной единице измерения. Это необходимо потому, что делить можно численные значения, относящиеся к одной и той же мере: иначе результат зависит от того, в каких единицах записана каждая длина. Например, сначала сантиметры и миллиметры переводят в одну единицу, а затем делят. Если обе длины перевести вместе, общий множитель сократится, поэтому само отношение не зависит от выбора единицы.
Порядок отрезков задаёт порядок деления: в отношении AB к CD длину AB делят на длину CD. Если поменять отрезки местами, получится CD/AB, то есть обычно обратное отношение. Это похоже на дроби 2/5 и 5/2: они не равны, потому что в первой дроби делят на пять, а во второй — на два. Поэтому при чтении условия сначала выясняют, какой отрезок сравнивают с каким.
Равенство отношений можно рассматривать как равенство дробей. Если a/b = c/d, то обе дроби имеют одинаковое значение; умножение обеих частей на bd даёт ad = bc. Так получается основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Оно удобно тем, что позволяет проверить пропорцию вычислением, не преобразуя дроби до десятичных чисел.
Если в пропорции известны три члена, неизвестный находят из равенства произведений. Сначала записывают пропорцию в том порядке, который задан отношением, и отмечают, какой член неизвестен; затем составляют равенство произведения крайних и произведения средних. После этого остаётся решить уравнение и проверить, что найденная длина положительна и подходит к исходному соотношению. Такая проверка помогает заметить ошибку в расположении отрезков ещё до окончательного ответа.
На чертеже отношение сравнивает именно длины отрезков, а не их направления, наклон или расположение. Внешне один отрезок может казаться длиннее другого из-за масштаба изображения, однако рисунок бывает условным. Поэтому измерение линейкой по чертежу не заменяет расчёт по данным задачи, если точные значения не заданы масштабом. Чертёж нужен, чтобы понять связи между объектами и не перепутать соответствующие отрезки.
В таблице собраны записи, которые помогают перейти от сравнения длин к вычислению неизвестного. Используйте строку о пропорции, когда нужно проверить равенство отношений или найти недостающую длину. Следите, чтобы в каждой паре соблюдался заданный порядок отрезков.
| Понятие или действие | Запись | Смысл |
|---|---|---|
| Отношение отрезков | AB/CD | Длина AB делится на длину CD |
| Обратное отношение | CD/AB | Порядок отрезков переставлен |
| Равенство отношений | a/b = c/d | Отношения имеют одинаковое значение |
| Основное свойство пропорции | a·d = b·c | Произведение крайних равно произведению средних |
| Нахождение неизвестного члена пропорции | Например, если a/b = c/x, то x = b·c/a | Неизвестную находят из равенства произведений |
Длины отрезков AB и CD равны 6 см и 9 см. Найдём отношение AB к CD и обратное отношение. Обе длины уже выражены в сантиметрах, поэтому их можно сразу подставить в частное. Важно не менять порядок в первом отношении, потому что он задан словами «AB к CD».
Ответ: AB/CD = 2/3, CD/AB = 3/2.
Проверим, пропорциональны ли отрезки длиной 4 см и 10 см отрезкам длиной 6 см и 15 см. Сначала сопоставим отрезки в указанном порядке: 4 см — с 10 см, 6 см — с 15 см. Если отношения равны, полученные пары пропорциональны; можно сравнить дроби или проверить произведения крест-накрест.
Ответ: да, отрезки пропорциональны, потому что их отношения равны.
Отрезки AB и CD относятся как 3:5, причём AB = 12 см. Нужно найти CD. Запись 3:5 означает, что длина AB составляет три части, а длина CD — пять таких же частей, поэтому неизвестную длину ставим на место второго члена. Так сохраняется соответствие отрезков и заданный порядок отношения.
Ответ: CD = 20 см.
Первая ошибка — делить длины в обратном порядке. В отношении AB к CD длину AB делят на длину CD, а не наоборот; ошибку часто вызывают слова «к» и «по отношению к», которые легко прочитать невнимательно. Перед вычислением полезно подписать числитель и знаменатель названиями отрезков. Проверка: подставьте в частное данные в том же порядке, в каком отрезки названы в условии.
Вторая ошибка — сравнивать числа, записанные в разных единицах, например 2 см и 30 мм. Числа 2 и 30 нельзя сразу делить, потому что они относятся к разным мерам длины. Сначала переведите обе величины в сантиметры или обе в миллиметры. После этого проверьте, что у обеих длин указана одна и та же единица.
Третья ошибка — считать, что равные отношения означают равенство соответствующих отрезков. Такое заблуждение возникает потому, что в обоих случаях используется слово «равны», но уравниваются разные объекты: значения отношений, а не длины. Например, отношения 2/3 и 4/6 равны, хотя числители и знаменатели не совпадают. Чтобы проверить себя, уточните, что именно сравниваете: отдельные длины или их частные.
Четвёртая ошибка — неверно выбирать крайние и средние члены пропорции или перемножать не те числа. В записи a/b = c/d крайние члены — a и d, средние — b и c; путаница часто появляется, когда пропорцию переписывают в другом порядке. Сначала запишите равенство отношений и отметьте четыре позиции, а затем составьте ad = bc. Подстановка полученного ответа в исходную пропорцию покажет, выполняется ли равенство.
Для работы с отношениями нужно уметь находить длины отрезков, выполнять действия с дробями и переводить величины в одинаковые единицы. Эти навыки помогают корректно составить и сократить отношение. Позже отношения длин используются при изучении подобных треугольников и теоремы Фалеса, где пропорциональность связывает отрезки. Пропорции также позволяют находить неизвестные длины в геометрических и практических задачах, например при работе с масштабом.
Почему отношение отрезков не зависит от выбора единицы измерения?
Если обе длины перевести в другую единицу, их численные значения умножатся на один и тот же коэффициент. При делении этот коэффициент сократится, поэтому отношение останется прежним. Например, отношение 6 см к 9 см такое же, как 60 мм к 90 мм.
Как понять, какой отрезок нужно ставить первым в отношении?
Смотрите на формулировку: в отношении AB к CD первой записывают длину AB, а второй — длину CD. Значит, нужно вычислить AB/CD. Перестановка отрезков обычно меняет значение отношения на обратное.
Чем отношение отрезков отличается от разности их длин?
Отношение находят делением одной длины на другую, а разность — вычитанием. Например, для длин 6 см и 9 см отношение первого ко второму равно ⅔, а разность равна 3 см. Отношение показывает, во сколько раз одна длина отличается от другой.
Как проверить, верно ли составлена пропорция?
Сначала убедитесь, что соответствующие длины поставлены в нужном порядке и выражены в одинаковых единицах. Затем перемножьте крайние члены пропорции и средние: произведения должны быть равны. Если равенства нет, пропорция составлена неверно или в вычислениях допущена ошибка.
Можно ли по одному чертежу определить точное отношение отрезков?
Обычно нельзя: рисунок может быть выполнен не в масштабе, а видимая длина не всегда соответствует точной длине отрезка. Точное отношение определяют по данным задачи, вычислениям или указанному масштабу. Чертёж помогает увидеть расположение отрезков, но не заменяет доказательство и расчёт.
§ 3. Отношение отрезков
