§ 4. Иррациональные и действительные числа

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0. Например, 3/4 и −2 рациональны: второе число можно записать как −2/1. Десятичная запись рационального числа конечна или периодична, поэтому это определение помогает распознавать числа, полученные делением целых.

Иррациональное число — действительное число, которое нельзя представить в виде дроби m/n. Его бесконечная десятичная запись не образует повторяющегося периода. Например, √2 иррационально: такой вид чисел нужен, чтобы описывать значения, которые не выражаются отношением целых чисел.

Действительное число — любое рациональное или иррациональное число. Иными словами, эти два вида вместе составляют одно множество — множество действительных чисел. Понятие объединяет числа, с которыми мы работаем на числовой прямой, и позволяет не ограничиваться одними дробями.

Десятичная запись действительного числа состоит из целой части и цифр после запятой. Она бывает конечной, бесконечной периодической или бесконечной непериодической. По этому признаку можно различать рациональные и иррациональные числа, а конечными отрезками записи — задавать приближения.

Как это устроено

Деление одного целого числа на другое приводит к рациональным числам: например, 3 : 4 = 3/4. Если деление не заканчивается, цифры после запятой могут повторяться, как в 1/3 = 0,333… . Поэтому рациональные числа дают много точек на прямой, но не все: существуют длины и значения, которые нельзя выразить отношением целых чисел, например диагональ квадрата со стороной 1, равная √2.

Проверим, можно ли представить √2 дробью. Предположим обратное: √2 = m/n, где дробь несократима, то есть числитель и знаменатель не имеют общего делителя, кроме 1. Возведя равенство в квадрат, получим m² = 2n², поэтому m² чётно и m тоже чётно. Запишем m = 2k: тогда 4k² = 2n², откуда n² = 2k², значит, n чётно. Но если m и n оба чётные, дробь можно сократить на 2, вопреки предположению; следовательно, √2 иррационально.

Каждое действительное число — рациональное или иррациональное, а оба вида можно расположить на одной числовой прямой. Рациональные числа соответствуют её точкам, но между ними остаются точки, которым отвечают иррациональные числа. Поэтому объединение двух множеств заполняет прямую без исключения таких значений. Это представление позволяет связывать числа с геометрическими длинами и сравнивать их по положению.

Десятичная запись помогает определить, рационально ли число, но важно смотреть не только на то, бесконечна ли она. Запись 0,272727… бесконечна, однако цифры 27 повторяются, а само число равно 3/11. У рационального числа десятичная запись конечна или периодична; если запись бесконечна и непериодична, число иррационально. Именно повторяемость, а не бесконечность сама по себе, служит признаком.

Иррациональное число можно приближать конечными десятичными дробями. Например, чтобы оценить √7 с точностью до 0,1, достаточно найти соседние десятые, квадраты которых находятся по разные стороны от 7. Если 2,6² < 7 < 2,7², то 2,6 < √7 < 2,7; значит, √7 приближённо равно 2,6 с точностью до одной десятой. Чем больше знаков после запятой проверено, тем обычно точнее приближение.

Рациональные, иррациональные и действительные числа

Пользуйтесь таблицей так: сначала выясните, можно ли представить число дробью целых, а затем при необходимости проверьте его десятичную запись. Строка «действительное число» охватывает оба предыдущих вида, а не обозначает третий отдельный тип чисел. Для записи с корнем проверьте, является ли подкоренное число полным квадратом.

Разбор задач

Задача 1. Распределите числа 3/4, −2, √5 и 0,272727… на рациональные и иррациональные.

1. Числа 3/4 и −2 рациональны: первое уже записано дробью целых чисел, а −2 = −2/1. Значит, их можно отнести к рациональным, не выполняя десятичного деления.
2. В записи 0,272727… повторяется группа цифр 27, поэтому число рационально. Например, 0,272727… = 3/11.
3. Число √5 иррационально: 5 не является полным квадратом, а √5 нельзя представить дробью целых чисел. Проверка по виду десятичной записи тоже дала бы бесконечную непериодическую запись.

Ответ: рациональные числа — 3/4, −2 и 0,272727… . Иррациональное число — √5. Классификация опирается на возможность представить число дробью или на периодичность его десятичной записи.

Задача 2. Заключите √7 между двумя последовательными десятыми дробями и укажите приближение с точностью до 0,1.

1. Ищем десятые дроби около корня и сравниваем их квадраты с 7. Число 2,6 подходит снизу, поскольку 2,6² = 6,76, а 6,76 < 7.
2. Число 2,7 подходит сверху: 2,7² = 7,29, а 7 < 7,29. Все числа положительны, поэтому из сравнения квадратов следует 2,6 < √7 < 2,7.
3. Получены две последовательные десятые дроби, между которыми лежит корень. Нижнее десятое приближение — 2,6; его погрешность меньше 0,1, так как √7 − 2,6 < 2,7 − 2,6.

Ответ: 2,6 < √7 < 2,7; √7 ≈ 2,6 с точностью до 0,1. Знак ≈ показывает, что это приближение, а не точное равенство. При необходимости точности до сотых нужно продолжить подбор границ.

Задача 3. Докажите, что √3 — иррациональное число.

1. Предположим противное: √3 = m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0, а дробь несократима. Возведём равенство в квадрат и получим m² = 3n².
2. Из этого равенства m² делится на 3, поэтому m делится на 3. Запишем m = 3k и подставим: 9k² = 3n², откуда n² = 3k².
3. Теперь n² делится на 3, следовательно, n тоже делится на 3. Получается, что числитель и знаменатель имеют общий делитель 3, а это противоречит несократимости дроби.

Ответ: предположение о рациональности √3 приводит к противоречию, поэтому √3 иррационально. В доказательстве использовано свойство: если квадрат целого числа делится на простое число 3, то само число делится на 3. Тот же приём применяют, доказывая иррациональность корней из простых чисел.

Типичные ошибки

• Считать любое бесконечное десятичное число иррациональным. Так ошибаются, потому что смешивают бесконечность записи с отсутствием периода; например, 0,333… рационально. Проверьте, повторяется ли группа цифр: периодическая запись означает рациональное число.

• Считать, что √n иррационально при любом натуральном n. Под корнем может стоять полный квадрат, например 9, и тогда √9 = 3. Перед выводом проверьте, является ли подкоренное число квадратом целого числа.

• Путать рациональные и действительные числа. Рациональные входят в действительные, но не исчерпывают их, потому что есть иррациональные числа, например √2. Проверьте себя вопросом: можно ли назвать действительное число, которое нельзя записать дробью? Если да, множества не совпадают.

• Записывать приближение иррационального числа как точное равенство. Например, √7 ≈ 2,6, но √7 не равно 2,6, поскольку 2,6² = 6,76. Ставьте знак ≈ для приближения и проверяйте квадрат, если сравниваете число с корнем.

Связь с другими темами

Для работы с этой темой нужны целые и рациональные числа, обыкновенные и десятичные дроби, а также умение отмечать числа на прямой. Действительные числа встречаются при изучении корней, уравнений и неравенств, функций и их областей определения. Приближения иррациональных чисел позволяют выполнять вычисления, когда точная десятичная запись невозможна. Оценка точности помогает понимать, насколько надёжен полученный результат.

Что запомнить

• Каждое рациональное число является действительным.
• Иррациональное число нельзя представить дробью целых чисел.
• Десятичная запись рационального числа конечна или периодична.
• Десятичная запись иррационального числа бесконечна и непериодична.
• Множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.
• Иррациональное число можно приближать конечными десятичными дробями.