"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Действительные числа объединяют рациональные и иррациональные числа и изображаются точками на числовой прямой. Их свойства помогают упрощать выражения и преобразовывать неравенства: слагаемые и множители можно переставлять и группировать, а умножение распределяется относительно сложения. Чтобы правильно работать с неравенствами, нужно учитывать знак числа, на которое умножают или делят. Модуль показывает расстояние до нуля, а промежутки помогают записывать множества решений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Действительное число — число, которому соответствует точка на числовой прямой. К действительным относятся рациональные числа, представимые дробью, и иррациональные, не представимые такой дробью. Вместе они составляют все числа, с которыми работают в обычной арифметике. Это понятие позволяет рассматривать числа как единую систему и отмечать их на прямой.
Числовая прямая — прямая с выбранными началом отсчёта, направлением и единичным отрезком. Каждому действительному числу на ней соответствует точка, а каждой точке — действительное число. Начало отсчёта соответствует нулю, направление задаёт рост чисел. Такая модель помогает сравнивать числа и наглядно изображать множества решений.
Модуль действительного числа — расстояние от точки, соответствующей числу, до начала координат; его записывают |x|. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому |x| ≥ 0 для любого x. Например, |−5| = 5 и |5| = 5. Модуль нужен, когда важно расстояние, а не направление от нуля.
Промежуток — множество действительных чисел, заданное границами и условиями включения или невключения этих границ. Квадратная скобка означает, что граничное число входит в множество, круглая — что не входит. Например, [1; 4) содержит 1, но не содержит 4. Промежутками удобно записывать решения неравенств.
Числовая прямая связывает числа с точками: ноль задаёт начало, единичный отрезок определяет масштаб, а направление показывает, в какую сторону числа увеличиваются. Поэтому сравнение чисел можно заменить сравнением положения точек. Если точка a расположена правее точки b, то a > b; если левее — a < b. Такое правило позволяет видеть порядок чисел независимо от того, рациональны они или иррациональны.
Перестановка слагаемых не меняет сумму, потому что при сложении важен общий результат объединения величин, а не порядок их записи: a + b = b + a. При группировке слагаемых результат тоже сохраняется, так как складываются те же числа: (a + b) + c = a + (b + c). Аналогично устроено умножение: множители можно переставлять и группировать. Распределительное свойство a(b + c) = ab + ac объясняется тем, что число a умножается на каждое слагаемое в скобках.
Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно число, обе части сдвинутся на одинаковую величину. Их взаимное положение не изменится, поэтому знак останется прежним: из a < b следует a + c < b + c. При умножении на положительное число расстояние от нуля увеличивается в одном направлении, и порядок также сохраняется. Следовательно, если c > 0 и a < b, то ac < bc.
Отрицательное число меняет направление на числовой прямой: при умножении точки на −1 она переходит на противоположную сторону от нуля. Поэтому порядок чисел обращается: например, из 2 < 5 получается −2 > −5. По той же причине при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак нужно заменить на противоположный. Это правило сохраняет равносильность преобразования и не теряет решений.
Модуль измеряет расстояние, поэтому |x| — расстояние от x до нуля, а |x − a| — расстояние от x до числа a. Например, условие |x − 2| ≤ 3 означает, что x находится не дальше чем на 3 единицы от 2. Это можно записать двойным неравенством 2 − 3 ≤ x ≤ 2 + 3. Промежутки дают краткую запись таких множеств: граница включается при нестрогом неравенстве и не включается при строгом.
| Группа свойств | Формулировка | Запись или условие |
|---|---|---|
| Переместительное свойство сложения | Слагаемые можно менять местами | a + b = b + a |
| Сочетательное свойство сложения | Слагаемые можно группировать по-разному | (a + b) + c = a + (b + c) |
| Переместительное свойство умножения | Множители можно менять местами | ab = ba |
| Сочетательное свойство умножения | Множители можно группировать по-разному | (ab)c = a(bc) |
| Распределительное свойство умножения относительно сложения | Множитель умножается на каждое слагаемое | a(b + c) = ab + ac |
| Сложение одного и того же числа с обеими частями неравенства | Знак неравенства сохраняется | Если a < b, то a + c < b + c |
| Умножение обеих частей неравенства на положительное число | Знак неравенства сохраняется | Если a < b и c > 0, то ac < bc |
| Умножение обеих частей неравенства на отрицательное число | Знак меняется на противоположный | Если a < b и c < 0, то ac > bc |
| Связь модуля числа с расстоянием до нуля | Модуль равен расстоянию от числа до нуля | |x| ≥ 0 |
В таблице собраны правила, которыми удобно проверять преобразования выражений и неравенств. Сначала определите, какое действие выполняется, затем найдите соответствующую строку и проверьте условие, например знак множителя. Для неравенств особенно важно не применять правило умножения, не выяснив, положительно число или отрицательно.
Задача 1. Упростите выражение 17·(−4) + 17·9, используя свойства действительных чисел. В обоих слагаемых есть общий множитель 17, поэтому удобно вынести его за скобки. Это применение распределительного свойства в обратном направлении. После этого остаётся вычислить сумму внутри скобок.
Ответ: 85. Чтобы проверить результат, можно отдельно вычислить произведения: −68 + 153 = 85. Совпадение подтверждает, что вынесение множителя выполнено верно.
Задача 2. Решите неравенство −3x + 5 > 11 и изобразите множество решений на числовой прямой. Нужно оставить слагаемое с x в одной части, а числовые слагаемые — в другой. Затем делим на −3, поэтому знак неравенства обязательно изменится. Граница не войдёт в ответ, так как исходное неравенство строгое.
Ответ: x < −2, или (−∞; −2). Проверка помогает заметить смену знака: при x = 0 левая часть равна 5, и 5 > 11 неверно, поэтому 0 не должно входить в ответ. Числа меньше −2 удовлетворяют неравенству, например при x = −3 получаем 14 > 11.
Задача 3. Найдите все действительные x, для которых |x − 2| ≤ 3, и запишите ответ в виде промежутка. Выражение под модулем показывает расстояние от x до 2. Условие означает, что это расстояние не превосходит 3. Поэтому x должен находиться между числами, отстоящими от 2 не более чем на три единицы.
Ответ: [−1; 5]. На числовой прямой это отрезок с закрашенными точками −1 и 5. Проверка границ даёт |−1 − 2| = 3 и |5 − 2| = 3, то есть оба числа подходят.
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Так происходит, когда правило воспринимают как обычное действие с равенством и не учитывают, что порядок чисел обращается. Перед делением проверьте знак делителя и измените знак неравенства, если он отрицательный. Затем подставьте подходящее число из найденного промежутка в исходное условие.
Иногда считают, что модуль отрицательного числа тоже отрицателен, например записывают |−4| = −4. Ошибка возникает из-за смешения модуля со знаком самого числа. Модуль измеряет расстояние до нуля, поэтому всегда неотрицателен: |−4| = 4. Проверить себя можно по смыслу: отрицательное расстояние невозможно.
Неверное раскрытие скобок часто выглядит так: a(b + c) = ab + c. Здесь множитель a применили только к первому слагаемому, хотя распределительное свойство требует умножить на каждое слагаемое. Правильная запись — a(b + c) = ab + ac. Для проверки раскройте скобки в простом числовом примере и сравните результаты обеих частей.
Круглые и квадратные скобки путают, когда записывают промежуток, не проверяя границы. Квадратная скобка означает, что граничное число входит в множество; круглая — что не входит. Если в неравенстве стоит ≤ или ≥, граница включается, а при < или > — нет. Подстановка граничного числа в исходное неравенство помогает определить нужную скобку.
Для работы с действительными числами нужно знать рациональные и иррациональные числа, действия с ними, сравнение чисел и знаки неравенств. Переместительное, сочетательное и распределительное свойства используются при преобразовании выражений, решении уравнений и неравенств. Координаты точек и векторов также задаются действительными числами. Модуль и промежутки понадобятся при изучении функций, расстояний на координатной прямой и множеств решений.
Чем действительные числа отличаются от рациональных?
Рациональные числа можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Действительные числа включают все рациональные и иррациональные числа, например √2 и π. Поэтому любое рациональное число действительное, но не любое действительное рациональное.
Почему при умножении неравенства на отрицательное число меняется его знак?
Умножение на отрицательное число меняет порядок точек на числовой прямой: числа, расположенные левее, после такого умножения окажутся правее. Например, из 2 < 5 следует −2 > −5. Поэтому знак неравенства нужно заменить на противоположный.
Может ли модуль числа быть отрицательным?
Нет, модуль неотрицателен, потому что он обозначает расстояние, а расстояние не бывает отрицательным. Например, |−4| = 4, а |0| = 0.
Как записать множество решений неравенства в виде промежутка?
Сначала найдите все числа, удовлетворяющие неравенству, и определите, включаются ли граничные значения. Если граница входит в множество, ставят квадратную скобку, если не входит — круглую. Например, x ≤ 3 задаёт промежуток (−∞; 3].
Как понять по числовой прямой, какое из двух чисел больше?
Сравните положения точек, соответствующих этим числам. Число, точка которого расположена правее, больше. Например, точка 4 правее точки −1, значит, 4 > −1.
§ 5. Свойства действительных чисел
