§ 1. Взаимное расположение прямых в пространстве

Определения и обозначения

Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие единственную общую точку и лежащие в одной плоскости. Например, две стороны треугольника пересекаются в его вершине. Это определение помогает отличить пересечение от ситуации, когда линии на рисунке лишь кажутся соприкасающимися.

Параллельные прямые — различные прямые одной плоскости, не имеющие общих точек. На плоскости такие прямые не пересеклись бы, даже если продолжить их в обе стороны. Уточнение о принадлежности одной плоскости важно: без него в пространстве возможно ещё одно расположение.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. Они не пересекаются, но и не являются параллельными. Понятие нужно, чтобы описывать пары прямых в пространственных фигурах, которые нельзя поместить в одну плоскость.

Угол между скрещивающимися прямыми — угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным. Так угол можно определить, хотя исходные прямые не встречаются. Величину находят по удобной паре пересекающихся прямых, а не измеряют расстояние или наклон на рисунке.

Как это устроено

На плоскости две прямые либо пересекаются, либо параллельны, если считать их различными. В пространстве к этим вариантам добавляется возможность расположить прямые в разных плоскостях. Например, одно ребро куба может идти вдоль передней грани, а другое — вдоль боковой; они не сходятся и не имеют общего направления в одной плоскости. Поэтому пространственное положение нельзя полностью описать только тем, пересекаются ли линии.

Если две прямые пересекаются, через них можно провести ровно одну плоскость: пересечение задаёт общую точку, а две прямые определяют направление плоскости. Для параллельных прямых плоскость тоже существует: через одну из них проводят плоскость, содержащую вторую, поскольку её направление совпадает с направлением первой. Скрещивающиеся же прямые общей плоскости не имеют — иначе они были бы либо параллельными, либо пересекающимися. Именно принадлежность одной плоскости разделяет эти случаи.

Чтобы определить взаимное расположение, сначала выясняют, сколько у прямых общих точек, затем проверяют, можно ли провести через них одну плоскость. Одна общая точка означает, что прямые пересекаются; две различные прямые без общих точек в одной плоскости параллельны. Если общих точек нет и общей плоскости также нет, прямые скрещиваются. Такой порядок не позволяет ошибочно объявить любые непересекающиеся прямые параллельными.

Для доказательства скрещивания удобно использовать признак. Пусть прямая a лежит в плоскости α, а прямая b пересекает α в точке P, причём P не принадлежит a. Если бы a и b лежали в одной плоскости, то эта плоскость содержала бы и a, и точку P; через прямую a и точку вне неё проходит единственная плоскость. Она должна была бы совпасть с α, а значит, b лежала бы в α, что противоречит пересечению α только в точке P. Следовательно, прямые скрещиваются.

Чтобы построить угол между скрещивающимися прямыми a и b, выбирают точку на одной из них и проводят через неё прямую, параллельную другой. Получившиеся прямые пересекаются, и меньший угол между ними принимают за угол между a и b. Точку на a можно выбрать иначе: новая параллельная b прямая будет иметь то же направление, поэтому величина угла между направлениями не изменится. Это позволяет выбирать точку и прямую так, чтобы вычисления были проще.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Сначала сравни число общих точек, затем проверь, существуют ли общая плоскость и подходящее условие для каждого случая. Если общих точек нет, решающим становится вопрос о плоскости: она есть у параллельных прямых и отсутствует у скрещивающихся. В строке об угле для скрещивающихся прямых указано, что его нужно строить, а не снимать непосредственно с изображения.

Разбор задач

Рёбра прямоугольного параллелепипеда

Условие: в прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ определите взаимное расположение пар AB и BC, AB и CD, AB и CC₁. Буквы с индексом ₁ обозначают вершины верхнего основания, соответствующие вершинам нижнего. Нужно рассмотреть бесконечные прямые, содержащие рёбра, а не только сами отрезки.

1. Прямые AB и BC имеют общую точку B и принадлежат плоскости нижнего основания ABCD. Значит, они пересекаются.
2. Прямые AB и CD лежат в одной плоскости ABCD и не пересекаются. Это противоположные стороны прямоугольника, поэтому они параллельны.
3. Прямые AB и CC₁ не пересекаются. Прямая AB лежит в плоскости основания ABCD, а CC₁ пересекает эту плоскость в точке C, не принадлежащей AB; по признаку они скрещиваются.

Ответ: AB и BC пересекаются, AB и CD параллельны, AB и CC₁ скрещиваются. Проверка плоскости нужна в последней паре: одного факта, что рёбра не имеют общей точки, для вывода о скрещивании было бы недостаточно. Так разбор рёбер показывает все три возможных случая.

Диагональ основания и боковое ребро призмы

Условие: в треугольной призме ABCA₁B₁C₁ докажите, что диагональ основания AC и боковое ребро BB₁ являются скрещивающимися прямыми. Основания призмы лежат в параллельных плоскостях, а боковые рёбра соединяют соответствующие вершины. Для доказательства выберем плоскость, уже содержащую диагональ AC.

1. Прямая AC лежит в плоскости основания ABC. Точка B этой плоскости не принадлежит AC, так как A, B и C — вершины невырожденного треугольника.
2. Прямая BB₁ проходит через B и не лежит в плоскости ABC; её пересечение с этой плоскостью — точка B. Это следует из того, что боковое ребро выходит из основания к другой, параллельной ему плоскости.
3. Получили, что одна прямая лежит в плоскости ABC, а другая пересекает её в точке B, не принадлежащей первой прямой. По признаку скрещивающихся прямых AC и BB₁ скрещиваются.

Ответ: AC и BB₁ — скрещивающиеся прямые. В доказательстве не нужно искать их общую плоскость или полагаться на вид рисунка. Достаточно точно указать плоскость и точку, в которой второе ребро пересекает её.

Угол между прямыми в кубе

Условие: в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ длина ребра равна a, диагональ грани равна a√2. Найдите угол между диагональю основания AC и верхним ребром B₁C₁. Эти прямые скрещиваются: AC лежит в плоскости основания, а B₁C₁ — в плоскости верхней грани. Чтобы найти угол, заменим одну прямую параллельной ей прямой, проходящей через точку другой.

1. Проведём через C прямую, параллельную B₁C₁. В кубе B₁C₁ параллельна BC, поэтому искомый угол равен углу между AC и BC.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Его катеты AB и BC равны a, а гипотенуза AC равна a√2.
3. Треугольник равнобедренный прямоугольный, поэтому угол ACB между AC и BC равен 45°. Следовательно, такой же угол образуют исходные скрещивающиеся прямые.

Ответ: 45°. Мы не измеряли угол между прямыми на изображении куба, а построили пересекающуюся пару с теми же направлениями. Поэтому результат определяется геометрией фигуры и не зависит от того, как куб нарисован.

Типичные ошибки

• Считать любые две прямые без общей точки параллельными — ошибка, потому что в пространстве возможны скрещивающиеся прямые. Её допускают, перенося правило с плоскости на объёмную фигуру. Проверь, можно ли поместить прямые в одну плоскость: если нельзя, они скрещиваются.

• Объявлять прямые скрещивающимися только потому, что на рисунке они не пересекаются, недостаточно. Перспективное изображение может скрывать их положение, а линии могут оказаться параллельными. Проверь отсутствие общей плоскости или докажи скрещивание по признаку через плоскость и точку пересечения.

• Путать общую точку прямых с общей точкой изображённых отрезков — значит анализировать только видимые части линий. Отрезки могут не соприкасаться, хотя содержащие их прямые пересекаются при продолжении. Продли прямые мысленно или используй координаты и условия задачи, рассматривая именно прямые.

• Измерять угол между скрещивающимися прямыми прямо по чертежу нельзя: такие прямые не пересекаются, а перспективное изображение меняет видимые углы. Ошибка возникает из-за того, что рисунок принимают за точную модель. Проведи через точку одной прямой параллельную другой и вычисли угол у полученной пересекающейся пары.

Связь с другими темами

Для работы с этой темой нужно знать, что такое прямая и плоскость, как обозначают принадлежность точки и какие признаки параллельности применяют на плоскости. Эти знания позволяют установить общую плоскость или доказать её отсутствие. Позже тот же подход пригодится при изучении параллельности прямой и плоскости, а также взаимного расположения плоскостей. Понятия пересечения, параллельности и скрещивания постоянно используются в задачах о рёбрах и диагоналях многогранников.

Что запомнить

• В пространстве две прямые могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.
• Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку и лежат в одной плоскости.
• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
• Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.
• Отсутствие общей точки ещё не доказывает параллельность.
• Угол между скрещивающимися прямыми находят через угол между пересекающимися параллельными им прямыми.