§ 3. Взаимное расположение прямых в пространстве

Определения и обозначения

Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие одну общую точку и лежащие в одной плоскости. Например, AB и AC пересекаются в точке A. Такое определение помогает отличить настоящее пересечение от кажущегося на рисунке.

Параллельные прямые — прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек. Записывают: a ∥ b. Для параллельности нужно установить не только отсутствие пересечения, но и принадлежность одной плоскости.

Скрещивающиеся прямые — прямые, не лежащие в одной плоскости. Обычно они не пересекаются, но главным признаком является именно некомпланарность. Поэтому по одному отсутствию общей точки скрещивание не устанавливают.

Взаимное расположение прямых — один из трёх случаев: пересечение, параллельность или скрещивание. Такая классификация охватывает любые две прямые в пространстве. Она задаёт порядок проверки: сначала ищут общую точку, затем общую плоскость.

Как это устроено

Две прямые могут пересекаться, если у них есть общая точка. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость, потому что точка пересечения и по одной дополнительной точке на каждой прямой однозначно задают плоскость. Значит, пересекающиеся прямые всегда компланарны, то есть лежат в одной плоскости.

Если две прямые не пересекаются, возможны два варианта. Они могут иметь одно направление и находиться в общей плоскости — тогда это параллельные прямые. Если же общей плоскости нет, прямые являются скрещивающимися.

Параллельные прямые лежат в одной плоскости по самому определению. Возьмём точку A, не лежащую на прямой a, и проведём через неё прямую b, параллельную a. В плоскости, содержащей a и A, действует признак единственности параллельной прямой: второй такой прямой через A быть не может.

Скрещивающиеся прямые отличаются от параллельных не просто отсутствием пересечения. Параллельные прямые можно поместить в одну плоскость, а скрещивающиеся — нельзя. Поэтому для различения этих случаев требуется найти или опровергнуть общую плоскость.

Чтобы доказать скрещивание, предполагают обратное: существует плоскость, содержащая обе прямые. Затем используют свойства этой плоскости и получают противоречие, например заставляют четыре вершины тетраэдра лежать в одной плоскости. После этого исходное предположение отвергают, и прямые называют скрещивающимися.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пользуйтесь таблицей как алгоритмом проверки. Сначала выясните, пересекаются ли прямые; если нет, проверьте существование общей плоскости. Отсутствие общей точки без этого второго шага ещё не позволяет назвать прямые параллельными или скрещивающимися.

Разбор задач

Задача 1

Условие. В тетраэдре ABCD определите взаимное расположение рёбер AB и CD, AB и AC, AB и CD. Вершины тетраэдра не лежат в одной плоскости, что используется при проверке третьего случая.

1. Прямые AB и CD не имеют общей вершины. Если бы они лежали в одной плоскости, это были бы параллельные прямые, но плоскость через рёбра противоположных вершин не определяется их общим ребром. Следовательно, AB и CD скрещиваются.
2. Прямые AB и AC имеют общую точку A. Две пересекающиеся прямые определяют плоскость ABC, поэтому они являются пересекающимися.
3. Третья пара в условии снова совпадает с первой: AB и CD. Для неё применяется тот же признак, что и в первом шаге.

Ответ: AB и CD — скрещивающиеся, AB и AC — пересекающиеся, повторная пара AB и CD — скрещивающиеся. Проверять нужно именно содержащие рёбра прямые, а не только положение отрезков.

Задача 2

Условие. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ определите взаимное расположение AB и C₁D₁, AB и CC₁, AC и B₁D₁. Используем свойства параллельных рёбер и тот факт, что вершины параллелепипеда не лежат в одной плоскости.

1. Рёбра AB и C₁D₁ имеют одинаковое направление и лежат в плоскости, проходящей через соответствующие грани. Поэтому AB ∥ C₁D₁.
2. AB и CC₁ не имеют общей точки. Плоскость, содержащая AB и вертикальное ребро CC₁, не существует: иначе она должна была бы содержать несовместимые направления параллелепипеда. Значит, эти прямые скрещиваются.
3. AC лежит в основании, а B₁D₁ — в верхней грани. Они не пересекаются и не являются параллельными, так как направления диагоналей AC и B₁D₁ различны. Следовательно, они скрещиваются.

Ответ: AB ∥ C₁D₁; AB и CC₁ — скрещивающиеся; AC и B₁D₁ — скрещивающиеся. В каждом случае сначала проверено пересечение, затем принадлежность одной плоскости.

Задача 3

Условие. Докажите, что в тетраэдре ABCD прямые AB и CD являются скрещивающимися. Нужно обосновать не только отсутствие общей точки, но и отсутствие общей плоскости.

1. Предположим, что существует плоскость α, содержащая прямые AB и CD. Тогда точки A, B, C и D принадлежат плоскости α, потому что каждая из них лежит на одной из этих прямых.
2. Получается, что все четыре вершины тетраэдра лежат в одной плоскости. Это противоречит определению тетраэдра: его вершины некомпланарны.
3. Следовательно, плоскости, содержащей одновременно AB и CD, не существует. Общей точки у этих прямых также нет, поэтому они не пересекаются и являются скрещивающимися.

Ответ: прямые AB и CD скрещиваются. Основное доказательство построено на невозможности поместить все вершины тетраэдра в одну плоскость.

Типичные ошибки

Считать любые непересекающиеся прямые параллельными — ошибка. Её допускают, потому что на плоском рисунке обычно рассматривают только наличие или отсутствие пересечения. Проверьте, можно ли назвать одну плоскость, содержащую обе прямые.

Называть скрещивающимися прямые, которые на самом деле пересекаются, тоже неверно. Точка пересечения может быть скрыта за элементами пространственной фигуры или плохо видна на чертеже. Проведите мысленно содержащие прямые и проверьте общие точки по вершинам и рёбрам.

Ошибочно полагать, что любые две прямые определяют плоскость. Это верно только для пересекающихся или параллельных прямых, а для скрещивающихся общей плоскости нет. Для самопроверки попробуйте указать три точки, через которые должна проходить предполагаемая плоскость.

Нельзя путать параллельность отрезков или рёбер с параллельностью прямых. Сравниваются бесконечные прямые, содержащие данные отрезки, а не только их видимые части. Продлите рёбра мысленно и проверьте, лежат ли получившиеся прямые в одной плоскости.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны аксиомы принадлежности точки, прямой и плоскости, а также признаки определения плоскости. Далее классификация прямых помогает изучать взаимное расположение прямой и плоскости, а затем двух плоскостей. Эти знания используются в задачах на сечения многогранников и углы между прямыми, когда сначала необходимо правильно установить положение объектов.

Что запомнить

• Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку.
• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.
• Любые две прямые в пространстве относятся к одному из трёх типов.
• Две пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость.
• Для доказательства скрещивания нужно показать, что общей плоскости для прямых не существует.