§ 2. Взаимное расположение прямой и плоскости

Определения и обозначения

Прямая пересекает плоскость, если они имеют ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой пересечения и обозначают, например, A: a ∩ α = {A}. Такое обозначение показывает не просто наличие контакта, а единственность общей точки.

Прямая лежит в плоскости, если все её точки принадлежат этой плоскости. Записывают: a ⊂ α. В этом случае общих точек бесконечно много, поэтому нельзя говорить, что прямая пересекает плоскость в одной точке.

Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с плоскостью общих точек и не лежит в ней. Используют обозначение a ∥ α. Это положение отличается от расположения прямой в плоскости именно отсутствием любых общих точек.

Как это устроено

Для прямой и плоскости возможны ровно три случая, потому что общие точки либо отсутствуют, либо есть. Если общая точка только одна, получают пересечение. Если общих точек две, то через эти две точки проходит единственная прямая, а значит, вся данная прямая лежит в плоскости; поэтому промежуточного варианта с двумя или несколькими, но не всеми общими точками нет.

Положение двух выбранных точек прямой помогает быстро сделать вывод. Если одна точка принадлежит плоскости, а другая нет, прямая не может лежать в плоскости: она пересекает её в первой точке. Если обе точки принадлежат плоскости, срабатывает признак принадлежности всей прямой; если обе точки находятся вне плоскости, этого ещё недостаточно для вывода, поскольку прямая может пересекать плоскость между ними.

Почему двух точек достаточно? Плоскость содержит прямую, проходящую через любые две её точки, а через две различные точки проходит только одна прямая. Поэтому прямая, содержащая точки A и B плоскости α, совпадает с прямой плоскости через A и B и целиком лежит в α. На чертеже плоскость обычно показывают параллелограммом, прямую — линией, а точку пересечения отмечают буквой; вид линий на рисунке не заменяет доказательство.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пользуясь таблицей, сначала определите число общих точек, а затем выберите название случая. Особое внимание уделяйте второму и третьему вариантам: у лежащей в плоскости прямой общих точек бесконечно много, а у параллельной — ни одной.

Разбор задач

Задача 1

Условие: точка A принадлежит плоскости α, а точка B не принадлежит ей. Как расположена прямая AB относительно α? Нужно использовать положение двух точек одной прямой, а не угадывать ответ по рисунку.

1. Точка A лежит в α, поэтому прямая AB имеет с плоскостью как минимум одну общую точку.
2. Точка B не лежит в α, поэтому вся прямая AB не может лежать в плоскости.
3. Если бы у прямой было ещё несколько общих точек с плоскостью, она целиком лежала бы в α. Следовательно, общей остаётся только точка A.

Ответ: прямая AB пересекает плоскость α в точке A: AB ∩ α = {A}.

Задача 2

Условие: точки A и B принадлежат плоскости α. Определим, что можно заключить о прямой AB. Здесь важно, что речь идёт о двух различных точках одной прямой.

1. Точки A и B являются общими для прямой AB и плоскости α.
2. Через две различные точки проходит единственная прямая.
3. Плоскость α содержит прямую, проходящую через A и B, поэтому все точки прямой AB принадлежат α.

Ответ: прямая AB лежит в плоскости α, то есть AB ⊂ α.

Задача 3

Условие: в плоскости α лежит прямая a, а прямая b не имеет с a общих точек. Можно ли заключить, что b ∥ α? Сравним условие с определением параллельности прямой и плоскости.

1. Из отсутствия общих точек у b и a следует только, что эти две прямые не пересекаются.
2. Плоскость α содержит не только a, но и бесконечно много других прямых и точек.
3. Прямая b может пересечь α в точке, которая не принадлежит a, поэтому условие не исключает пересечения с плоскостью.

Ответ: сделать такой вывод нельзя; данных недостаточно. Нужно доказать отсутствие общих точек прямой b со всей плоскостью α.

Типичные ошибки

Называть прямую параллельной плоскости только потому, что они не пересекаются на рисунке, — ошибка. Иногда прямая целиком лежит в плоскости, и тогда общих точек не ноль, а бесконечно много. Проверьте, действительно ли у прямой нет ни одной общей точки с плоскостью.

По одной точке прямой в плоскости нельзя заключать, что вся прямая лежит в ней. Вторая точка может находиться вне плоскости, и тогда прямая пересекает её в одной точке. Для вывода о принадлежности найдите две точки прямой, лежащие в плоскости.

Отсутствие общих точек с одной прямой плоскости не означает отсутствия общих точек со всей плоскостью. Другая точка пересечения может находиться в стороне от выбранной прямой. Проверяйте положение относительно α, а не только относительно a.

Видимое пересечение линий на пространственном чертеже не всегда является настоящим. Проекция может расположить на бумаге точки, которые в пространстве не совпадают, или скрыть пересечение. Делайте вывод по условиям и теоремам, а рисунок используйте лишь как схему.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны аксиомы стереометрии, обозначения прямых и плоскостей, а также понимание принадлежности точки прямой или плоскости. Эти знания позволяют читать записи вроде A ∈ α и a ⊂ α.

Различение трёх случаев понадобится при изучении параллельности прямых и плоскостей. Оно также используется в задачах на построение сечений многогранников, где нужно определить, пересекает ли прямая грань или проходит в её плоскости.

Что запомнить

• Прямая и плоскость либо пересекаются в одной точке, либо прямая лежит в плоскости, либо не имеют общих точек.
• Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая лежит в ней.
• Пересечение прямой и плоскости — их единственная общая точка.
• Параллельная плоскости прямая не имеет с ней общих точек.
• Прямая, лежащая в плоскости, имеет с ней бесконечно много общих точек.