§ 3. Взаимное расположение плоскостей

Определения и обозначения

Параллельные плоскости — различные плоскости, которые не имеют общих точек; записывают α ∥ β. Такое обозначение сразу показывает, что плоскости не совпадают и не пересекаются.

Пересекающиеся плоскости — плоскости, имеющие общие точки; их пересечение является прямой. Это помогает описывать не отдельную общую точку, а всю линию, которая принадлежит обеим плоскостям.

Совпадающие плоскости — плоскости, все точки которых общие; их обозначают α = β. Фактически это одна и та же плоскость, названная разными буквами.

Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны. Он нужен, чтобы доказывать параллельность плоскостей через уже известные свойства прямых.

Как это устроено

Для двух плоскостей возможны только три случая, потому что у них либо совпадает всё множество точек, либо общих точек нет, либо есть общая часть. Если плоскости имеют общие точки, они не могут быть параллельными по определению. Если общими являются все точки, плоскости совпадают, а если только часть, возникает пересечение.

Пересечение двух различных плоскостей не может состоять из одной точки. Через общую точку можно провести прямую, лежащую в первой плоскости, и прямую, лежащую во второй; при единственности плоскости через подходящие пересекающиеся прямые общая часть продолжается по прямой. Поэтому в пространстве две различные плоскости либо не пересекаются, либо имеют общую прямую.

Признак параллельности позволяет установить взаимное расположение плоскостей по двум парам прямых. Сначала в одной плоскости находят две пересекающиеся прямые, затем во второй — две прямые, параллельные им соответственно. Поскольку две пересекающиеся прямые задают положение плоскости, совпадение двух направлений не оставляет плоскостям возможности пересечься.

Одной пары параллельных прямых для такого вывода недостаточно. Например, в пространстве множество плоскостей может содержать прямые одного и того же направления, но сами плоскости при этом будут наклонены по-разному. Вторая пересекающаяся прямая задаёт дополнительное направление и фиксирует положение плоскости.

В пространственной фигуре признак применяют по определённому плану. Нужно выбрать две пересекающиеся прямые на первой плоскости, найти соответствующие прямые на второй и доказать их попарную параллельность. После проверки обоих условий можно сделать вывод о параллельности плоскостей.

Взаимное расположение двух плоскостей

Пользуйтесь таблицей как алгоритмом классификации: сначала выясните, есть ли общие точки. Если их нет, плоскости параллельны, если общими являются все точки — совпадают, а при частичном пересечении общей частью будет прямая.

Отдельно проверяйте слово «различные»: параллельными называют именно различные плоскости, поскольку совпадающие плоскости имеют общие точки.

Разбор задач

Задача 1

Условие: определите взаимное расположение плоскостей α и β, если известно, что они имеют общую точку A.

1. Общая точка означает, что плоскости не могут быть параллельными, ведь параллельные плоскости общих точек не имеют.
2. Остаются два случая: плоскости совпадают или пересекаются по прямой.
3. Одной общей точки недостаточно, чтобы выбрать один из этих двух случаев.

Ответ: плоскости α и β не параллельны; они либо совпадают, либо пересекаются по прямой.

Задача 2

Условие: плоскость α содержит пересекающиеся прямые a и b, а плоскость β — пересекающиеся прямые a₁ и b₁. Известно, что a ∥ a₁ и b ∥ b₁. Докажите, что α ∥ β.

1. Проверяем первое условие признака: a и b пересекаются, а a₁ и b₁ тоже пересекаются.
2. Проверяем второе условие: a параллельна a₁, а b параллельна b₁, то есть соответствующие прямые параллельны попарно.
3. Оба условия выполнены, поэтому по признаку параллельности плоскостей α ∥ β.

Ответ: α ∥ β.

Задача 3

Условие: в параллелепипеде докажите, что плоскости двух противоположных граней параллельны.

1. Пусть противоположные грани — ABCD и A₁B₁C₁D₁. На первой грани выберем пересекающиеся стороны AB и AD.
2. На второй грани соответствующими им сторонами будут A₁B₁ и A₁D₁. В параллелепипеде AB ∥ A₁B₁ и AD ∥ A₁D₁.
3. Стороны AB и AD пересекаются в точке A, а A₁B₁ и A₁D₁ — в точке A₁. Значит, выполнены оба условия признака.

Ответ: плоскости противоположных граней ABCD и A₁B₁C₁D₁ параллельны.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что две плоскости могут иметь ровно одну общую точку. Так думают по аналогии с прямыми на плоскости, но в пространстве пересечение плоскостей продолжается по прямой. Проверяйте: если точка общая, ищите общую прямую.

Ошибка — называть совпадающие плоскости параллельными без оговорки. При данном определении параллельные плоскости не имеют общих точек, а совпадающие имеют общими все точки. Сначала выясните, различны ли плоскости и есть ли у них общие точки.

Ошибка — делать вывод о параллельности по одной паре параллельных прямых. Одна пара фиксирует только одно направление и не определяет положение всей плоскости. Для проверки найдите вторую пару прямых, причём прямые в каждой плоскости должны пересекаться.

Ошибка — не проверять пересечение прямых внутри каждой плоскости. Даже две пары параллельных линий не дают нужного признака, если выбранные прямые в одной из плоскостей не пересекаются. Отметьте точки пересечения до формулировки вывода.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о том, что через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость, а параллельные прямые лежат в одной плоскости. Признак опирается на свойства параллельных прямых и их признаки в пространстве. Позже параллельность плоскостей понадобится при изучении многогранников, сечений и расстояний между плоскостями.

Что запомнить

• Две плоскости либо совпадают, либо не имеют общих точек, либо пересекаются.
• Различные параллельные плоскости не имеют общих точек.
• Пересечение двух пересекающихся плоскостей — прямая.
• Общая точка исключает параллельность плоскостей.
• Для признака параллельности нужны две пересекающиеся прямые в каждой плоскости.
• Соответствующие прямые в двух плоскостях должны быть попарно параллельны.