"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Призма — многогранник с двумя равными основаниями, расположенными в параллельных плоскостях. Её боковые грани — параллелограммы, а если боковые рёбра перпендикулярны основаниям, призма называется прямой. Параллелепипед — частный вид призмы с параллелограммами в основаниях. Эти фигуры помогают описывать пространственные объекты и находить площади поверхностей, длины рёбер и диагоналей; главное — отличать высоту от бокового ребра и свойства прямых фигур от свойств наклонных.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Призма — многогранник, у которого две грани являются равными многоугольниками в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммы. Эти два многоугольника задают форму и размер оснований, а параллелограммы соединяют их стороны. Определение позволяет распознать призму независимо от того, прямая она или наклонная.
Основания призмы — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях; боковые рёбра соединяют соответствующие вершины оснований. Соответствующими называют вершины, которые переходят друг в друга при параллельном переносе одного основания к другому. Это помогает правильно определить боковые грани и измерять расстояние между основаниями.
Прямая призма — призма, боковые рёбра которой перпендикулярны плоскостям оснований; её боковые грани являются прямоугольниками. Слово «прямая» указывает на направление боковых рёбер, а не на форму основания. Это определение нужно, чтобы отличать прямую призму от наклонной и использовать её особые формулы.
Параллелепипед — призма, основания которой являются параллелограммами; его грани — параллелограммы. У такой фигуры три пары противоположных граней, и каждая пара состоит из равных параллельных параллелограммов. Определение помогает увидеть, что параллелепипед — не отдельный от призм объект, а их частный случай.
Представим многоугольник и его параллельный равный перенос в другую плоскость. При переносе сохраняются длины и углы, поэтому оба многоугольника могут стать основаниями призмы. Если соединить каждую вершину первого основания с соответствующей вершиной второго, то соединяющие отрезки будут параллельны и равны; вместе с парой соответствующих сторон они образуют параллелограммы-боковые грани.
Каждая сторона основания задаёт одну боковую грань, а каждая вершина — одно боковое ребро. Поэтому у призмы с n-угольником в основании n боковых граней и n боковых рёбер. Два основания дают ещё 2n вершин, так что всего вершин 2n, рёбер 3n и граней n + 2; по форме основания призму называют треугольной, четырёхугольной и так далее.
Высота призмы — кратчайшее расстояние между плоскостями оснований, то есть длина перпендикуляра, опущенного от одной плоскости к другой. В прямой призме боковое ребро само перпендикулярно плоскостям оснований, поэтому оно и задаёт это расстояние. В наклонной призме ребро идёт под углом к основаниям, а перпендикуляр между плоскостями короче наклонного отрезка; поэтому высоту нельзя подменять длиной бокового ребра.
Если основание призмы — параллелограмм, каждая из её боковых граней тоже параллелограмм. Вместе с двумя основаниями получается шесть параллелограммных граней — так устроен параллелепипед. Противоположные грани лежат в параллельных плоскостях и равны: боковые переносы сохраняют размеры, а в основаниях это свойство есть у противоположных сторон параллелограмма.
Диагональ параллелепипеда соединяет две вершины, которые не лежат на одной грани. У прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a, b и c сначала находят диагональ основания: √(a² + b²). Затем эта диагональ и третье ребро образуют прямоугольный треугольник с пространственной диагональю, поэтому повторное применение теоремы Пифагора даёт d = √(a² + b² + c²).
| Признак | Призма | Параллелепипед |
|---|---|---|
| Форма основания | Любой многоугольник | Параллелограмм |
| Число боковых граней | Равно числу сторон основания | 4 |
| Форма боковых граней | Параллелограммы | Параллелограммы |
| Свойства противоположных граней | Основания равны и параллельны | Все противоположные грани равны и параллельны |
| Связь высоты и бокового ребра в прямом случае | Высота равна боковому ребру | Высота равна боковому ребру, если параллелепипед прямой |
Сначала посмотрите на основание: если оно не параллелограмм, перед вами призма, но не параллелепипед. Затем уточните, прямая ли фигура: именно это определяет, можно ли считать боковые грани прямоугольниками и приравнивать высоту к боковому ребру. Таблица также показывает, что свойства параллелепипеда включают свойства призм, но не наоборот.
Задача 1. У треугольной призмы укажите число вершин, рёбер и граней. В основании треугольник, поэтому n = 3. Используем общие формулы для n-угольной призмы.
Ответ: 6 вершин, 9 рёбер и 5 граней. Проверка по составу фигуры подтверждает число граней: два основания и три боковые грани.
Задача 2. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, боковое ребро равно 10 см. Найдём площадь полной поверхности. Поскольку призма прямая, её высота равна боковому ребру, то есть h = 10 см.
Ответ: 132 см². Сначала найдены все стороны и площадь основания, затем к боковой поверхности добавлены два основания.
Задача 3. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 12 см. Найдём длину пространственной диагонали. Рассмотрим прямоугольный треугольник в основании, а затем треугольник, где его диагональ и третье ребро — катеты.
Ответ: 13 см. Два шага применения теоремы Пифагора позволяют учесть все три измерения параллелепипеда.
Ошибка: считать, что боковые грани любой призмы — прямоугольники. Так думают, потому что в знакомой прямой призме грани действительно прямоугольные; однако у наклонной призмы это параллелограммы с непрямыми углами. Проверьте, перпендикулярны ли боковые рёбра основаниям: только при таком условии грани становятся прямоугольниками.
Ошибка: принимать боковое ребро наклонной призмы за высоту. Боковое ребро удобно измерять, но оно наклонено к плоскостям оснований, поэтому его длина не равна перпендикулярному расстоянию между ними. Для проверки проведите мысленно или на чертеже перпендикуляр между плоскостями и убедитесь, что именно он задаёт высоту.
Ошибка: путать диагональ призмы с диагональю основания или боковой грани. Это происходит, когда ориентируются только на то, что отрезок соединяет вершины; диагонали грани целиком лежат в одной грани, а пространственная диагональ — нет. Проверьте, принадлежат ли обе конечные вершины одной грани: если принадлежат, это диагональ грани.
Ошибка: считать все рёбра параллелепипеда равными. Равенство всех рёбер бывает у отдельных фигур, но у обычного параллелепипеда равны лишь противоположные рёбра. Сгруппируйте рёбра по трём направлениям: длины могут различаться, а внутри каждой группы параллельные рёбра равны.
Для изучения призм нужны свойства параллельных прямых и плоскостей, а также умение распознавать параллелограммы. Понятия перпендикуляра и расстояния между параллельными плоскостями помогают находить высоту, особенно у наклонной призмы. Если высота не совпадает с боковым ребром, эти знания позволяют не подменять одно расстояние другим.
Призмы и параллелепипеды используют при вычислении объёмов и площадей поверхностей многогранников. Их свойства помогают выразить площадь боковой поверхности через периметр основания и высоту. Диагональ прямоугольного параллелепипеда пригодится в задачах о пространственных расстояниях и сводится к теореме Пифагора.
Чем призма отличается от пирамиды?
У призмы два равных основания в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы. У пирамиды одно основание, а боковые грани — треугольники с общей вершиной.
Почему у прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками?
В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому боковое ребро перпендикулярно сторонам основания, а боковые грани-параллелограммы имеют прямые углы и являются прямоугольниками.
Всегда ли высота призмы равна боковому ребру?
Нет. У прямой призмы боковое ребро перпендикулярно основаниям, поэтому оно равно расстоянию между их плоскостями, то есть высоте. У наклонной призмы высота — перпендикулярное расстояние между основаниями, и обычно она меньше бокового ребра.
Сколько граней у n-угольной призмы?
У неё n боковых граней и два основания, всего n + 2 грани. Число боковых граней равно числу сторон основания, потому что каждой его стороне соответствует одна боковая грань.
Чем диагональ параллелепипеда отличается от диагонали его грани?
Диагональ грани соединяет две вершины одного и того же параллелограмма. Диагональ параллелепипеда проходит внутри тела и соединяет вершины, не принадлежащие одной грани.
§ 4. Призма и параллелепипед
