"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Параллельное проектирование превращает пространственную фигуру в изображение на плоскости: через её точки проводят прямые одного заданного направления и отмечают пересечения с плоскостью. Такой способ помогает изображать объёмные тела на чертежах и изучать их свойства. При проекции сохраняются прямолинейность, параллельность и отношения отрезков на одной прямой, но обычно меняются длины и углы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельное проектирование — способ получения изображения фигуры на плоскости с помощью параллельных проецирующих прямых. Иначе говоря, точки объёмной фигуры мысленно «переносят» на плоскость в одном направлении. Это позволяет изображать пространственные объекты на чертеже и сравнивать свойства фигуры с её изображением.
Направление проектирования — направление, задаваемое прямой, параллельно которой проводят все проецирующие прямые. Поэтому для построения нужно выбрать не отдельное направление для каждой точки, а одно общее для всей фигуры. Это условие отличает параллельное проектирование от других способов построения изображения.
Проецирующая прямая — прямая, проходящая через изображаемую точку параллельно заданному направлению проектирования. По ней определяют, куда именно попадёт точка на плоскости. Такую прямую проводят через каждую точку фигуры, которую требуется изобразить.
Параллельная проекция точки — пересечение её проецирующей прямой с плоскостью проектирования, а проекция фигуры — множество проекций всех её точек. Плоскость проектирования служит экраном, на котором строится изображение. Это определение связывает построение отдельных точек с построением целой фигуры.
Чтобы спроектировать точку A, через неё проводят прямую, параллельную выбранному направлению. Точка пересечения этой прямой с плоскостью проектирования и есть проекция A. Прямая нужна потому, что условие проектирования задаёт положение возможной проекции: она должна лежать одновременно и на проецирующей прямой, и на плоскости.
Направление проектирования выбирают так, чтобы оно не было параллельно плоскости. Тогда проецирующая прямая пересечёт плоскость, причём только в одной точке: две различные прямые могут иметь не более одной общей точки. Если же направление параллельно плоскости, проецирующая прямая может оказаться параллельной ей и не иметь пересечения, поэтому проекция точки не будет определена обычным способом.
Представим прямую, содержащую изображаемый отрезок. Если она не параллельна направлению проектирования, все её точки проектируются на одну прямую: сама исходная прямая и направление задают плоскость, пересечение которой с плоскостью проектирования является прямой. Если же исходная прямая параллельна направлению, проецирующие прямые через её точки оказываются параллельными и лежат в одной плоскости с плоскостью проектирования, а их пересечения могут совпасть. Поэтому вся прямая тогда переходит в одну точку.
Пусть две исходные прямые параллельны и не схлопываются в точки. Вместе с направлением проектирования они задают параллельные плоскости, а их пересечения с плоскостью проектирования дают параллельные прямые или одну совпавшую прямую. Так объясняется, почему параллельность обычно сохраняется, хотя проекции разных прямых иногда накладываются друг на друга.
Проекция точек на одной прямой зависит от положения точки на этой прямой равномерно: перемещение вдоль неё на некоторую долю отрезка даёт такое же отношение на проекции. Например, если точка M делит AB пополам, то её проекция делит проекцию AB пополам. Причина в том, что все точки переносятся параллельно одному направлению, поэтому соответствующие отрезки на одной прямой изменяются в одном и том же отношении; это рассуждение не относится к отрезку, который целиком спроецировался в точку.
| Объект или свойство | Результат проектирования | Условия и замечания |
|---|---|---|
| Точка | Точка на плоскости проектирования | Проецирующая прямая не должна быть параллельна плоскости |
| Прямая | Прямая или точка | Прямая переходит в прямую, если не параллельна направлению проектирования; иначе — в точку |
| Отрезок | Отрезок или точка | Концы отрезка проектируются в концы его проекции |
| Параллельные прямые | Параллельные или совпадающие прямые | Совпадение возможно при вырожденном положении |
| Отношение отрезков на одной прямой | Сохраняется | Отрезки должны лежать на одной прямой |
| Середина отрезка | Переходит в середину проекции отрезка | Следует из сохранения отношений |
| Параллельность отрезков | Сохраняется для непроецирующихся отрезков | Вырожденные проекции требуют отдельного рассмотрения |
В таблице результат относится к обычному случаю, когда направление не параллельно плоскости проектирования. Сначала проверь, не становится ли объект точкой: это особый случай, который может изменить вывод о его проекции. Затем используй подходящее свойство, не распространяя сохранение отношений на отрезки разных прямых.
Условие. Даны плоскость проектирования, направление проектирования и точка A. Требуется построить проекцию точки A. Сначала следует проверить, что выбранное направление не параллельно плоскости: иначе пересечение может отсутствовать.
Ответ. Точка A₁ — искомая параллельная проекция точки A. Построение единственно, поскольку прямая заданного направления пересекает плоскость ровно в одной точке. Если пересечения нет, значит, условие о направлении проектирования не выполнено.
Условие. Требуется построить проекцию отрезка AB и определить, где окажется проекция его середины M. Отрезок не параллелен направлению проектирования, поэтому он не схлопывается в точку. Для решения достаточно построить проекции концов и применить сохранение отношений на одной прямой.
Ответ. Проекция M — середина отрезка A₁B₁. Здесь важно, что исходный отрезок не спроецирован в одну точку: иначе середина его проекции не была бы определена как отдельная точка отрезка.
Условие. Даны два параллельных отрезка, причём один из них параллелен направлению проектирования. Нужно описать их проекции. Условие сразу указывает на два разных случая: один отрезок схлопнется в точку, а второй не может схлопнуться таким же образом, поскольку он параллелен первому.
Ответ. Отрезок, параллельный направлению проектирования, изображается точкой; второй параллельный отрезок изображается отрезком. Сначала проверяй положение каждого отрезка отдельно — слово «параллельные» само по себе не означает, что их проекции сохранят вид отрезков.
Ошибка — проводить проецирующие прямые в разных направлениях. Её допускают, когда строят каждую точку отдельно и забывают, что параллельность должна быть общей для всех прямых. Проверь, что любая проведённая прямая параллельна одной и той же заданной прямой.
Неверно считать, что любая прямая переходит в прямую: прямая, параллельная направлению проектирования, может перейти в точку. Это упускают, представляя изображение только как привычный отрезок на плоскости. Перед построением сравни направление исходной прямой с направлением проектирования; если они параллельны, ожидай вырожденную проекцию.
Другая ошибка — приписывать проекции сохранение длин и углов. На чертеже стороны и наклоны могут выглядеть иначе, потому что точки переносятся на плоскость, а не сохраняют расстояния до неё. Проверяй вывод: гарантируются прямолинейность, параллельность и отношения на одной прямой, но не длины и углы.
Нельзя переносить сохранение отношения на отрезки, лежащие на разных прямых. Такую ошибку провоцирует запоминание свойства без условия его применения. Убедись, что сравниваемые отрезки находятся на одной прямой; если нет, из свойств параллельного проектирования их отношение не следует.
Для работы с параллельным проектированием нужно уметь распознавать параллельные прямые и плоскости, находить пересечение прямой с плоскостью и использовать свойства отношений отрезков. Это связывает тему с базовыми понятиями стереометрии и геометрическими построениями. В дальнейшем способ пригодится при изображении пространственных фигур на плоскости и изучении параллельности в стереометрии. На практике его применяют в чертежах, технической графике и при изображении объёмных объектов.
Чем параллельное проектирование отличается от центрального?
При параллельном проектировании все проецирующие прямые параллельны одному направлению. При центральном они проходят через одну общую точку — центр проекции. Поэтому параллельное проектирование удобно использовать для чертежей, где параллельные направления сохраняются.
Почему направление проектирования не должно быть параллельно плоскости?
Если направление параллельно плоскости проектирования, проецирующая прямая может не пересечь эту плоскость. Тогда для точки не получится задать обычную проекцию как точку пересечения. Если направление не параллельно плоскости, каждая такая прямая пересечёт её ровно один раз.
Может ли отрезок при проектировании превратиться в точку?
Да. Это происходит, если отрезок параллелен направлению проектирования: проецирующие прямые его точек пересекают плоскость проектирования в одной и той же точке. В остальных случаях его проекция обычно является отрезком.
Сохраняются ли при параллельном проектировании длины и углы?
В общем случае нет: длины отрезков и величины углов могут измениться. Сохраняются прямолинейность и параллельность, а также отношения отрезков, расположенных на одной прямой. Поэтому по проекции нельзя без дополнительных сведений определить настоящую длину ребра или угол.
Почему проекция середины отрезка является серединой его проекции?
Параллельное проектирование сохраняет отношение частей отрезка, лежащих на одной прямой. Середина делит отрезок на две равные части, поэтому её проекция делит проекцию отрезка на две равные части. Это рассуждение применимо, если отрезок не схлопывается в точку.
§ 5. Параллельное проектирование
