§ 4. Параллельное проектирование

Определения и обозначения

Параллельное проектирование — способ получить изображение фигуры на плоскости, проектируя её точки параллельными прямыми. Все эти прямые имеют одно направление. Способ помогает изображать пространственные объекты на плоском чертеже.

Направление проектирования — направление прямых, по которым точки фигуры переносят к плоскости. Оно задаёт, как именно строится изображение, поэтому его нельзя выбирать произвольно. Направление не должно быть параллельно плоскости проекций.

Плоскость проекций — плоскость, на которую проектируют исходную фигуру. Она является поверхностью, где появляются все полученные образы. Например, ею может быть плоскость чертежа.

Проекция точки — точка пересечения плоскости проекций с прямой, проходящей через исходную точку в направлении проектирования. Её обычно обозначают той же буквой со штрихом: A′. Так для каждой точки фигуры получают её место на плоскости.

Как это устроено

Чтобы построить проекцию точки A, через неё проводят прямую в заданном направлении и находят её пересечение с плоскостью проекций. Такая прямая называется проектирующей. Пересечение существует и единственно именно потому, что направление не параллельно плоскости.

Проекцию фигуры получают, проектируя каждую её точку, но строить бесконечное множество точек не нужно. У многоугольника достаточно найти образы вершин, поскольку стороны соединяют эти вершины. Затем образы соединяют в том же порядке, что и исходные точки, и получают проекцию фигуры.

Прямая, не параллельная направлению проектирования, проектируется в прямую, потому что проектирующие прямые её точек образуют плоскость. Пересечение этой плоскости с плоскостью проекций обычно является прямой. Если же исходная прямая параллельна направлению проектирования, все её точки идут к одной точке плоскости, поэтому образ вырождается в точку.

Параллельные прямые, не совпадающие с направлением проектирования, переходят в параллельные прямые или в одну прямую. Параллельность сохраняется, потому что проектирующие прямые для двух исходных параллельных прямых образуют параллельные сечения. Совпадение возможно, если разные исходные прямые проектируются на один и тот же след в плоскости.

При параллельном проектировании сохраняется отношение отрезков, лежащих на одной прямой: если AM:MB = p:q, то A′M′:M′B′ = p:q. Это происходит потому, что соответствующие отрезки образованы пересечением параллельных прямых с двумя плоскостями. Поэтому середина отрезка переходит в середину его проекции, а длины и углы в общем случае меняются.

Что сохраняет параллельное проектирование

Таблица помогает быстро определить образ объекта, сначала сравнив его положение с направлением проектирования. Для свойств отрезков нужно проверить, лежат ли они на одной прямой. Не следует переносить на чертёж сохранение длины или угла без дополнительных условий.

Разбор задач

Задача 1. Точка A проектируется на плоскость α в направлении a. Опишите построение её проекции A′. Нужно использовать именно заданное направление, а не перпендикуляр к плоскости. Искомая точка определяется пересечением построенной прямой с α.

1. Через точку A проведите прямую l, параллельную направлению a.
2. Найдите точку пересечения l с плоскостью α.
3. Обозначьте эту точку A′, поскольку она является образом A.

Ответ: A′ = l ∩ α, где l проходит через A и параллельна a.

Задача 2. Постройте проекцию треугольника ABC, если заданы плоскость проекций и направление проектирования. Треугольник достаточно задать образами трёх вершин. После этого стороны восстанавливаются соединением соответствующих точек.

1. Через A, B и C проведите прямые, параллельные направлению проектирования.
2. Обозначьте их пересечения с плоскостью проекций через A′, B′ и C′.
3. Соедините A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′.

Ответ: треугольник A′B′C′ — проекция треугольника ABC; если две вершины имеют один образ, полученная фигура может выродиться.

Задача 3. Точка M — середина отрезка AB. Докажите, что её проекция M′ — середина проекции отрезка AB. Здесь нельзя доказывать равенство длин пространственным измерением, поскольку проектирование может изменить длины. Используем сохраняемое отношение частей одного отрезка.

1. Так как M — середина AB, имеем AM:MB = 1:1.
2. При проектировании точки A, M и B переходят в A′, M′ и B′, лежащие на одной прямой или в вырожденный случай.
3. Сохранение отношения даёт A′M′:M′B′ = 1:1.

Ответ: A′M′ = M′B′, поэтому M′ — середина отрезка A′B′.

Типичные ошибки

Иногда проектирующую прямую проводят не параллельно заданному направлению, а просто «на глаз» к плоскости. Так происходит из-за смешения направления проектирования с перпендикуляром. Проверьте себя: все прямые через исходные точки должны быть параллельны одному и тому же вектору направления.

Ошибочно считать, что любая прямая проектируется в прямую. Если исходная прямая параллельна направлению проектирования, все её точки получают один образ. Перед построением сравните направление самой прямой с направлением проектирования.

Нельзя без доказательства переносить на проекцию равенство длин или величину углов. Проекция может растянуть, сжать или наклонить изображение. Проверяйте, относится ли утверждение к сохраняемому отношению отрезков, а не к отдельным длинам и углам.

Проекции параллельных прямых не обязаны быть различными. Они могут совпасть, если обе исходные прямые дают один и тот же след на плоскости. Для проверки постройте проектирующие прямые хотя бы через несколько характерных точек.

Связь с другими темами

До изучения проектирования нужно уметь задавать прямую и плоскость в пространстве. Также пригодится построение параллельных прямых, поскольку именно параллельность задаёт направление переноса точек.

Параллельное проектирование используется для изображения пространственных фигур на плоскости. На его основе строят наглядные чертежи многогранников и других пространственных объектов.

С темой связаны сечения многогранников и свойства параллельности в стереометрии. При построении сечений важно понимать, какие прямые и отношения сохраняются после перехода к плоскости.

Что запомнить

• Образ точки лежит на прямой, проведённой через неё в направлении проектирования.
• Направление проектирования не должно быть параллельно плоскости проекций.
• Прямая, параллельная направлению проектирования, проектируется в точку.
• Параллельные прямые переходят в параллельные прямые или совпадают.
• Отношения отрезков на одной прямой сохраняются.
• Длины и углы в общем случае не сохраняются.