§ 39. Параллельное проектирование

Определения и обозначения

Параллельное проектирование — способ получить изображение фигуры на плоскости, проводя через её точки прямые, параллельные одному направлению. Оно нужно, чтобы изобразить пространственный объект на плоском чертеже и сохранить часть его геометрических свойств.

Направление проектирования — общее направление всех проектирующих прямых. Его обозначим, например, буквой d; оно не должно быть параллельно плоскости проекций, иначе прямые не пересекут эту плоскость.

Проекция точки — точка пересечения плоскости проекций с прямой, проходящей через исходную точку параллельно направлению d. Если точка A проектируется на плоскость α, её образ обозначают A′.

Изображение фигуры — множество проекций всех точек этой фигуры. На практике чаще всего проектируют характерные точки: вершины, концы отрезков и точки пересечения, а затем восстанавливают линии изображения.

Как это устроено

Чтобы построить проекцию фигуры, сначала выбирают плоскость проекций и направление d. Через каждую характерную точку проводят прямую, параллельную d, а затем отмечают её пересечение с плоскостью. Соединив полученные образы в том же порядке, получают изображение фигуры.

Каждая точка имеет единственную проекцию, потому что через неё можно провести только одну прямую заданного направления. Если d не параллельно плоскости проекций, эта прямая пересекает плоскость в одной точке. Поэтому каждой исходной точке соответствует определённый образ.

Образ прямой лежит на прямой, поскольку достаточно взять на исходной прямой две точки и спроектировать их. Проектирующие прямые этих точек образуют плоскость вместе с исходной прямой, а пересечение этой плоскости с плоскостью проекций является прямой. Если исходная прямая параллельна d, все её точки могут иметь один и тот же образ, и прямая вырождается в точку.

Коллинеарные точки остаются коллинеарными, потому что исходная прямая и проектирующие прямые лежат в одной плоскости, пересекающей плоскость проекций по прямой. Отношение отрезков на одной прямой также сохраняется: возникающие треугольники подобны, так как их соответствующие стороны лежат на параллельных проектирующих прямых. Поэтому, если AM:MB = 2:3, то A′M′:M′B′ = 2:3.

Параллельные прямые обычно изображаются параллельными, поскольку их направления и построение проекций согласованы. Однако прямая, параллельная d, может перейти в точку, поэтому изображение иногда вырождается. Длина отрезка и величина угла зависят от наклона фигуры к плоскости проекций и в общем случае не сохраняются.

Что сохраняет параллельное проектирование

Таблица помогает быстро отличить свойства, на которые можно опираться при построении, от свойств, которые нельзя переносить на изображение без проверки. Особенно полезны сохранение коллинеарности, параллельности и отношений отрезков на одной прямой.

Разбор задач

Проекция треугольника

Условие. На плоскость α параллельно направлению d нужно спроектировать треугольник ABC.

1. Через точки A, B и C проводят три прямые, параллельные d. Это один и тот же способ построения для всех вершин.
2. На каждой проведённой прямой находят пересечение с плоскостью α и обозначают полученные точки A′, B′ и C′.
3. Соединяют A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′. Эти отрезки являются образами сторон исходного треугольника.

Ответ: параллельная проекция треугольника ABC — треугольник A′B′C′, построенный по проекциям его вершин.

Отношение отрезков

Условие. Точка M делит отрезок AB так, что AM:MB = 2:3. Требуется найти отношение проекций A′M′ и M′B′.

1. Все три точки проектируют одним направлением, поэтому отрезки AM и MB лежат на одной исходной прямой и имеют проекции на одной прямой.
2. Для отрезков одной прямой параллельное проектирование сохраняет отношение. Значит, можно перенести данное отношение без вычисления длин проекций.
3. Подставляем условие AM:MB = 2:3 и получаем A′M′:M′B′ = 2:3.

Ответ: A′M′:M′B′ = 2:3.

Проекция параллелограмма

Условие. Известны проекции A′, B′ и C′ параллелограмма ABCD. Нужно определить положение D′.

1. В параллелограмме AB ∥ CD и BC ∥ AD. Поэтому через A′ проводят прямую, параллельную B′C′, а через C′ — прямую, параллельную A′B′.
2. Точка пересечения этих двух прямых должна быть D′: она одновременно лежит на образах сторон AD и CD.
3. Эквивалентно можно использовать диагонали: в параллелограмме они делятся пополам, поэтому A′C′ и B′D′ имеют общую середину. Через эту середину проводят прямую к B′ и получают D′.

Ответ: D′ — пересечение прямой через A′, параллельной B′C′, и прямой через C′, параллельной A′B′.

Типичные ошибки

Считать, что сохраняются длины. Ошибка возникает из-за привычки воспринимать изображение как уменьшенную копию фигуры. Проектирование сохраняет некоторые отношения, но не сами длины; проверяйте длины только при наличии специального условия.

Считать, что сохраняются углы. Ученик переносит свойства обычного подобия на произвольную проекцию. Проверьте, не меняется ли наклон линий к плоскости: без дополнительных условий равенство углов гарантировать нельзя.

Утверждать, что любые параллельные прямые дают две разные параллельные прямые. Это забывает о прямых, параллельных направлению проектирования, которые могут перейти в точки. Перед выводом проверьте направление каждой прямой.

Проектировать вершины по разным направлениям. Так нарушается само определение параллельного проектирования, хотя отдельные точки могут быть построены правильно. Для самопроверки убедитесь, что все проектирующие прямые параллельны одному и тому же d.

Связь с другими темами

Для параллельного проектирования нужны знания о прямых и плоскостях в пространстве, параллельности прямых и плоскостей, а также об отношениях отрезков. Эти свойства объясняют построение проекций и сохранение отношений.

Метод используют при изображении пространственных фигур на чертежах и при изучении сечений многогранников. Он помогает переносить пространственные отношения на плоскую схему.

Тема связана с аксонометрическими изображениями и построением чертежей пространственных объектов. В таких изображениях также стремятся передать форму тела с помощью согласованного проектирования.

Что запомнить

• Проекция точки — пересечение плоскости проекций с прямой заданного направления через эту точку.
• Направление проектирования не параллельно плоскости проекций.
• Проекция фигуры состоит из проекций всех её точек.
• Коллинеарные точки переходят в коллинеарные точки.
• Отношения отрезков одной прямой сохраняются.
• Длины и углы в общем случае не сохраняются.
• Прямая, параллельная направлению проектирования, может проектироваться в точку.